dice 骰子概率[Mom]

Q1 2023 AMC 12B Problems/Problem 23
When  standard six-sided dice are rolled, the product of the numbers rolled can be any of  possible values. What is ?

Q2 2005 AMC 10B Problems/Problem 12
Twelve fair dice are rolled. What is the probability that the product of the numbers on the top faces is prime?

Q3 2021 Fall AMC 12B Problems/Problem 11
Una rolls  standard -sided dice simultaneously and calculates the product of the  numbers obtained. What is the probability that the product is divisible by 

Q4 2019 AIME II Problems/Problem 4

A standard six-sided fair die is rolled four times. The probability that the product of all four numbers rolled is a perfect square is , where  and  are relatively prime positive integers. Find .

Q5 COMC2000 P5

How many five-digit positive integers have the property that the product of their digits is 2000?

Q6

Q1 A11

Q2 E

Q3 C

Q4 187

Q5 30

Q6完整中文证明

设 \(p,q\) 均为实用数，我们需要证明 pq 是实用数。

根据实用数定义：只需证明 ——对任意满足 \(1\le k \le pq\) 的正整数 k，k 都能写成 pq 的一组互不相同的正约数之和。

步骤 1：对 k 做带余分解

任取一个 \(1\le k \le pq\) 的整数，对 k 除以 q 做带余拆分：

\(k = a\cdot q + b\)

其中商 a、余数 b 满足范围：\(\boldsymbol{0\le a \le p}\)，\(\boldsymbol{0\le b < q}\)。

• 范围说明：\(k\le pq\)，因此商最大为 p；余数是除法的剩余部分，天然小于除数 q。

步骤 2：利用实用数性质拆分 a 和 b

因为 p 是实用数，且 \(0\le a \le p\)：

• 若 \(a=0\)，无需拆分；
• 若 \(a\ge1\)，则 a 可以写成 p 的若干互不相同正约数之和：\(a = c_1 + c_2 + \dots + c_m\)其中 \(c_1,c_2,\dots,c_m\) 是 p 的两两不同的正约数。

同理，q 是实用数，且 \(0\le b < q\)：

• 若 \(b=0\)，无需拆分；
• 若 \(b\ge1\)，则 b 可以写成 q 的若干互不相同正约数之和：\(b = d_1 + d_2 + \dots + d_n\)其中 \(d_1,d_2,\dots,d_n\) 是 q 的两两不同的正约数。

步骤 3：代入变形 k 的表达式

将 \(a,b\) 的拆分式代回 \(k=aq+b\)，展开得到： \(\begin{align*} k &= \big(c_1 + c_2 + \dots + c_m\big)\cdot q + \big(d_1 + d_2 + \dots + d_n\big) \\ &= c_1 q + c_2 q + \dots + c_m q + d_1 + d_2 + \dots + d_n \end{align*}\)

步骤 4：证明式中每一项都是 pq 的正约数

1. 对于任意 \(c_i q\)：\(c_i\) 是 p 的约数，即 \(c_i \mid p\)，因此 \(c_i q \mid p\cdot q\)，\(c_i q\) 是 pq 的约数；
2. 对于任意 \(d_j\)：\(d_j\) 是 q 的约数，即 \(d_j \mid q\)，而 \(q\mid pq\)，由整除传递性得 \(d_j \mid pq\)，\(d_j\) 是 pq 的约数。

步骤 5：证明所有加项两两互不相同

我们把求和项分成两类：一类是 \(c_i q\)，一类是 \(d_j\)。

1. 跨类比较：\(d_j < q\)，而 \(c_i\) 是 p 的正约数，故 \(c_i \ge 1\)，推出 \(c_i q \ge q\)。于是对任意 \(i,j\)：\(\boldsymbol{d_j < q \le c_i q}\)。也就是说：每一个 \(d_j\) 都严格小于每一个 \(c_i q\)，两类数字之间不可能相等。
2. 同类内部比较：
   • 所有 \(c_i\) 互不相同，同乘 q 后 \(c_i q\) 依旧互不相同；
   • 所有 \(d_j\) 本身互不相同。

综上，\(c_1 q,\dots,c_m q,\ d_1,\dots,d_n\) 全部两两不等。

步骤 6：结论

我们任取了不超过 pq 的正整数 k，并将它表示成了 pq 的若干互不相同的正约数之和，完全符合实用数的定义。

因此：两个实用数的乘积仍是实用数。证明完毕。

补充特殊情况说明

若 \(b=0\)，则 \(k=aq\)，仅由 \(c_i q\) 的和表示，条件依旧成立。

若 \(a=0\)，则 \(k=b\)，仅由 \(d_j\) 的和表示，条件依旧成立；