Stewart’s Theorem斯图尔特定理

https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Stewart%27s_Theorem?srsltid=AfmBOorIZxBfKGxc7R1u5HrzkI9eiQx3xFX7dT4vcw5q2DgAqZc6F1v2

Given any triangle  with sides of length  and opposite vertices , , , respectively, then if cevian  is drawn so that ,  and , we have that . (This is also often written , a phrase which invites mnemonic memorization, i.e. “A man and his dad put a bomb in the sink.”) That is Stewart’s Theorem.

下面按高频应用场景，逐个给出典型例题 + 完整解题步骤，所有例子均为课内与竞赛的经典题型，能直观体现斯图尔特定理 “纯边长运算、跳过角度推导” 的核心优势。

场景 1：基础直算 —— 已知三边与分点位置，求内分线长度

这是最入门的应用，完全替代 “两次余弦定理”，全程无三角函数计算。

典型例题

在△ABC 中，AB=13，AC=15，BC=14，点 D 在 BC 边上，且 BD=5，求线段 AD 的长度。

解答

对照斯图尔特定理标准形式：\(\boldsymbol{b^2 m + c^2 n = a(d^2 + mn)}\)

其中：\(AB=c=13\)，\(AC=b=15\)，\(BC=a=14\)，\(BD=m=5\)，\(DC=n=14-5=9\)，\(AD=d\)为待求量。

代入公式计算： \(\begin{align*} AC^2 \cdot BD + AB^2 \cdot DC &= BC \cdot (AD^2 + BD \cdot DC) \\ 15^2 \times 5 + 13^2 \times 9 &= 14 \times (AD^2 + 5 \times 9) \\ 1125 + 1521 &= 14AD^2 + 630 \\ 2016 &= 14AD^2 \\ AD^2 &= 144 \\ AD &= 12 \end{align*}\)

优势：无需设角、无需计算余弦值，直接代入边长得到结果，计算量和出错率远低于两次余弦定理。

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场景 2：特殊分线 —— 推导并计算中线长度

中线是分点为中点的特例，斯图尔特定理可以直接导出中线长公式，无需单独记忆。

典型例题

在上述 13-14-15 的△ABC 中，M 是 BC 边的中点，求中线 AM 的长度。

解答

M 为 BC 中点，故\(BM=MC=7\)，即\(m=n=7\)，代入斯图尔特定理： \(\begin{align*} AC^2 \cdot BM + AB^2 \cdot MC &= BC \cdot (AM^2 + BM \cdot MC) \\ 15^2 \times 7 + 13^2 \times 7 &= 14 \times (AM^2 + 49) \\ 7 \times 394 &= 14(AM^2 + 49) \\ 394 &= 2AM^2 + 98 \\ AM^2 &= 148 \\ AM &= 2\sqrt{37} \end{align*}\)

延伸：将\(m=n=\frac{a}{2}\)普遍代入，即可得到通用中线长公式：

\(m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 – a^2}\)

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场景 3：结合比例定理 —— 求角平分线长度

先通过角平分线定理得到分点比例，再用斯图尔特计算分线长度，是几何题的标准解题流程。

典型例题

在△ABC 中，AB=8，AC=6，BC=7，AD 是∠BAC 的内角平分线，交 BC 于 D，求角平分线 AD 的长度。

解答

第一步：由角平分线定理，分点比例满足 \(\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{4}{3}\)。

结合\(BD+DC=7\)，解得 \(BD=4\)，\(DC=3\)。

第二步：代入斯图尔特定理： \(\begin{align*} AC^2 \cdot BD + AB^2 \cdot DC &= BC \cdot (AD^2 + BD \cdot DC) \\ 6^2 \times 4 + 8^2 \times 3 &= 7 \times (AD^2 + 12) \\ 144 + 192 &= 7AD^2 + 84 \\ 252 &= 7AD^2 \\ AD^2 &= 36 \\ AD &= 6 \end{align*}\)

延伸：普遍代入角平分线比例，可推导出内角平分线长公式：

\(t_a = \frac{1}{b+c}\sqrt{bc\left[(b+c)^2 – a^2\right]}\)

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场景 4：几何证明 —— 平方恒等式快速推导

遇到含边长平方的线段恒等式，斯图尔特可以一步完成转化，比作辅助线、用勾股 / 余弦简洁得多。

典型例题

求证：在等腰△ABC 中，\(AB=AC\)，D 为底边 BC 上任意一点，恒有 \(AB^2 – AD^2 = BD \cdot DC\)。

证明

设\(AB=AC=c\)，\(BC=a\)，\(BD=m\)，\(DC=n\)，\(AD=d\)，显然\(m+n=a\)。

代入斯图尔特定理： \(\begin{align*} AC^2 \cdot BD + AB^2 \cdot DC &= BC \cdot (AD^2 + BD \cdot DC) \\ c^2 \cdot m + c^2 \cdot n &= a(d^2 + mn) \\ c^2(m+n) &= a(d^2 + mn) \end{align*}\)

将\(m+n=a\)代入，两边约去a得：

\(c^2 = d^2 + mn\)

移项即得：\(AB^2 – AD^2 = BD \cdot DC\)，证毕。

优势：无需作高、无需勾股定理，纯代数变形一步得到结论，是竞赛中证明平方关系的常用技巧。

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场景 5：竞赛综合 —— 搭配圆幂 / 相交弦定理

斯图尔特负责计算分线长度与分段乘积，圆幂定理负责对接圆上的弦长关系，是竞赛几何的经典组合。

典型例题

在 13-14-15 的△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，延长 AD 交△ABC 的外接圆于点 E，求 DE 的长度。

解答

第一步：由场景 1 的结论，高 AD=12，对应分段\(BD=5\)，\(DC=9\)。

第二步：由相交弦定理（圆幂定理的一种），圆内两条弦 BC 与 AE 交于 D，满足：

\(AD \cdot DE = BD \cdot DC\)

代入数值：

\(12 \cdot DE = 5 \times 9\)

\(DE = \frac{45}{12} = \frac{15}{4}\)

常见组合逻辑：先用斯图尔特算出分段乘积\(BD\cdot DC\)，再用相交弦定理对接弦长，全程无角度计算。

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场景 6：外分点场景 —— 外角平分线 / 线段延长线

对于边的延长线上的分点（外分点），无需额外记忆公式，只需转换视角，把外分点看作另一个三角形的内分点即可套用标准斯图尔特。

典型例题

在△ABC 中，AB=5，AC=3，BC=4，AD 是∠BAC 的外角平分线，交 BC 的延长线于 D，求 AD 的长度。

解答

第一步：由外角平分线定理，\(\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{5}{3}\)。

D 在 BC 延长线上，故\(BD – DC = BC = 4\)，解得\(BD=10\)，\(DC=6\)。

第二步：转换视角，将 C 看作△ABD 中边 BD 上的内分点，对△ABD 应用斯图尔特定理，分线为 AC：

\(AB^2 \cdot DC + AD^2 \cdot BC = BD \cdot (AC^2 + BC \cdot DC)\)

代入数值： \(\begin{align*} 5^2 \times 6 + AD^2 \times 4 &= 10 \times (3^2 + 4 \times 6) \\ 150 + 4AD^2 &= 10 \times 33 \\ 4AD^2 &= 180 \\ AD^2 &= 45 \\ AD &= 3\sqrt{5} \end{align*}\)

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快速识别口诀

遇到三角形内（或延长线上）有顶点到对边的线段，且条件 / 问题围绕边长、比例、平方、乘积展开，优先考虑斯图尔特定理，可直接跳过角度计算，大幅提升解题速度。