Lagrange’s Trigonometric Identities拉格朗日三角恒等式

拉格朗日给出的原始通用恒等式是这样的：

$$\sum_{k=1}^{n} \cos(k\theta) = -\frac{1}{2} + \frac{\sin\left(\left(n + \frac{1}{2}\right)\theta\right)}{2\sin\frac{\theta}{2}}$$

对于任意正 $2m+1$ 边形，只要把所有“偶数倍”的角（或者所有“奇数倍”的角）的余弦值加起来，结果永远等于 $-\frac{1}{2}$。

我们可以写成通项公式：

$$\sum_{k=1}^{m} \cos \frac{2k \pi}{2m+1} = -\frac{1}{2}$$

不信？我们来看看具体的例子：

• 正三角形 ($n=3$, 此时 $m=1$)：$$\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$$（无需多言，高中秒懂）
• 正五边形 ($n=5$, 此时 $m=2$)：$$\cos \frac{2\pi}{5} + \cos \frac{4\pi}{5} = -\frac{1}{2}$$（如果你记得黄金分割比，这两项分别是 $\frac{\sqrt{5}-1}{4}$ 和 $\frac{-\sqrt{5}-1}{4}$，相加正好是 $-\frac{1}{2}$）
• 正七边形 ($n=7$, 此时 $m=3$)：$$\cos \frac{2\pi}{7} + \cos \frac{4\pi}{7} + \cos \frac{6\pi}{7} = -\frac{1}{2}$$

The figure below depicts a regular -gon inscribed in a unit circle.What is the sum of the th powers of the lengths of all  of its edges and diagonals?