Definition 1 (Geometric Definition)

An ellipse is the set of all points P in a plane such that the sum of the distances from P to two fixed points is a constant.

• The two fixed points are called foci (singular: focus).
• Let \(F_1,F_2\) be the two foci, then for any point P on the ellipse: \(|PF_1| + |PF_2| = 2a\)
• Restriction: \(\boldsymbol{2a > 2c}\) (necessary condition for an ellipse).

核心术语

focus /ˈfəʊkəs/ (sing.) 焦点；foci /ˈfəʊsaɪ/ (pl.) 焦点（复数）

Definition 2 (Eccentricity Definition)

An ellipse is the set of all points P where the ratio of the distance from P to a focus and the distance from P to a fixed line (directrix) is a constant \(\boldsymbol{e}\), with \(\boldsymbol{0<e<1}\).

This constant e is called the eccentricity.

核心术语

directrix /daɪˈrekt rɪks/ (sing.) 准线；directrices (pl.) 准线（复数）

eccentricity /ˌeksenˈtrɪsəti/ 离心率

Fundamental Identity of Ellipse For any ellipse: \(\boldsymbol{a^2 = b^2 + c^2}\) Inequalities: \(\boldsymbol{a > b > 0,\ a > c > 0}\)

Basic formula for eccentricity: \(\boldsymbol{e = \frac{c}{a}},\quad \boldsymbol{0 < e < 1}\)

English

Equation:

\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a>b>0)\)

• Major axis: x-axis; Minor axis: y-axis
• Foci: \((\pm c,\ 0)\)

一、椭圆的两大定义（Definitions of Ellipse）

1. 第一定义（几何定义，最常用）

中文

平面内，到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹叫做椭圆。

• 两个定点：焦点；两焦点之间的距离记作 2c；
• 设椭圆上任意一点为 P，两个焦点为 \(F_1,F_2\)，则恒满足： \(|PF_1| + |PF_2| = 2a\)
• 关键限制条件：常数 \(2a > 2c\)（若 \(2a=2c\) 轨迹是线段，\(2a<2c\) 无轨迹）。

2. 第二定义（离心率定义）

中文

平面内，到一个定点（焦点）的距离与到一条定直线（准线）的距离之比为常数 e（\(0<e<1\)）的点的轨迹叫做椭圆。

这个常数 e 就是离心率。

二、通用符号 & 核心恒等式（必考！本题核心公式）

统一符号（全球教材 / 竞赛通用，和你题目完全一致）

表格

符号	中文名称	英文名称	长度含义
a	长半轴	semi-major axis	长轴的一半，长轴总长 2a
b	短半轴	semi-minor axis	短轴的一半，短轴总长 2b
c	半焦距	semi-focal length	两焦点间距的一半，焦距总长 2c
e	离心率	eccentricity	焦距与长轴的比值

1. 核心恒等式（椭圆第一公式，万能推导基础）

中文

椭圆中 \(a,b,c\) 永远满足勾股关系：

\(\boldsymbol{a^2 = b^2 + c^2}\)

大小关系：\(\boldsymbol{a > b > 0,\ a > c > 0}\)

2. 离心率基础定义式（题目原文定义）

中文

离心率 e 定义为：半焦距与长半轴的比值

\(\boldsymbol{e = \frac{c}{a}}\)

范围：\(\boldsymbol{0 < e < 1}\)（椭圆专属）

Equation:

\(\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 \quad (a>b>0)\)

• Major axis: y-axis; Minor axis: x-axis
• Foci: \((0,\ \pm c)\)

Translated Ellipse Equation

\(\boldsymbol{\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1}\)

• \((h,k)\): center of the ellipse
• Translation does not change \(a,b,c,e\).

三、椭圆标准方程（Standard Equations）

分两大类：中心在原点（基础）、中心平移到 \((h,k)\)（你这道题直接使用）

前置规则

椭圆标准方程统一形式：分式和为 1；

判断长轴技巧：分母更大的那一项，对应的坐标轴就是长轴。

---

类型 1：中心在坐标原点 \(\boldsymbol{O(0,0)}\)

情况 1：长轴在 \(\boldsymbol{x}\) 轴上（Major axis on the x-axis）

中文

标准方程：

\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a>b>0)\)

• 长轴：x 轴；短轴：y 轴
• 焦点坐标：\((\pm c,\ 0)\)（焦点永远在长轴上）

情况 2：长轴在 \(\boldsymbol{y}\) 轴上（Major axis on the y-axis）

中文

标准方程：

\(\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 \quad (a>b>0)\)

• 长轴：y 轴；短轴：x 轴
• 焦点坐标：\((0,\ \pm c)\)

类型 2：中心平移到 \(\boldsymbol{C(h,\ k)}\)（平移椭圆，本题核心）

当椭圆中心不在原点，而是在平面点 \((h,k)\) 时，使用平移型标准方程。

通用平移方程

中文

\(\boldsymbol{\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1}\)

• \((h,k)\)：椭圆中心；
• 平移性质：平移不改变 \(a,b,c,e\) 的大小，只改变中心、焦点、顶点的坐标；
• 坐标平移规则：左加右减，上加下减。

数学符号：\(\boldsymbol{\mathcal E}\)

1. 读法与写法

• 英文读法：script E /curly E（花体 E）
• 中文叫法：椭圆 \(\mathcal E\)、曲线 \(\mathcal E\)

1. ellipse /ɪˈlɪps/

基础信息

• 词性：n. (可数名词)
• 单数：ellipse 椭圆
• 复数：ellipses /ɪˈlɪpsiːz/（拼写 + 发音易错，结尾读 /siːz/）
• 形容词形式：elliptic /eˈlɪptɪk/ 或 elliptical，意为「椭圆的」

释义 & 几何含义

平面几何图形：椭圆，也就是我们这道题研究的核心图形。

常用搭配 & 真题例句

1. an ellipse 一个椭圆
2. the ellipse \(\mathcal E\) 椭圆 \(\mathcal E\)（本题高频搭配）
3. equation of an ellipse 椭圆方程

原题原句：

The unique ellipse that passes through the points…

翻译：经过这些点的唯一椭圆……

易混提醒（拼写陷阱）

• ellipse /ɪˈlɪps/ = 【几何】椭圆
• ellipsis /ɪˈlɪpsɪs/ = 【语文】省略号（拼写几乎一致，含义完全不同，数学题里只会出现 ellipse）

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2. major axis /ˈmeɪdʒə ˈæksɪs/

先拆分两个单词，再合记短语，同时补充成对词汇 minor axis（考试必成对出现）。

① 拆分单词

1. major /ˈmeɪdʒə(r)/ adj. 主要的、更长的；反义词：minor /ˈmaɪnə(r)/ 次要的、更短的
2. axis /ˈæksɪs/ n. 轴；复数：axes /ˈæksiːz/（超级高频易错！单复数发音完全不同）

② 短语整体

major axis

• 中文：长轴
• 几何定义：椭圆中长度更长的那条对称轴； 题目明确规定：\(\boldsymbol{2a}\) = the length of the major axis（长轴总长），a = semi-major axis（半长轴）。

minor axis（配套必记）

• 中文：短轴
• 几何定义：椭圆中长度更短的对称轴； 短轴总长 = 2b，b = semi-minor axis（半短轴）。

补充前缀：semi-（数学高频前缀，表「一半」）

• semi- = half 一半
• semi-major axis = 半长轴 (a)
• semi-minor axis = 半短轴 (b)
• semi-focal length = 半焦距 (c)

搭配 & 原题例句

1. length of the major axis 长轴长度
2. along the major axis 沿长轴方向

原题原句：

2a is the length of the major axis of \(\mathcal E\).

翻译：2a 是椭圆 \(\mathcal E\)长轴的长度。

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3. focus /ˈfəʊkəs/ & two foci /ˈfəʊsaɪ/（本题重中之重，单复数必考）

核心规则（数学专用，和日常英语不一样）

表格

形式	拼写	音标	用法场景
单数	focus	/ˈfəʊkəs/	单个焦点
复数	foci	/ˈfəʊsaɪ/	【数学 / 几何专用】多个焦点（椭圆固定两个焦点，必用这个复数）

. eccentricity /ˌeksenˈtrɪsəti/（本题核心考点：离心率）

基础信息

• 词性：n. (不可数名词)
• 音标：/ˌeksenˈtrɪsəti/
• 词根：eccentric /ɪkˈsentrɪk/adj. 偏心的、偏离中心的

释义 & 几何定义

离心率，是描述椭圆「扁平程度」的核心参数，符号记作 \(\boldsymbol{e}\)。

1) 题目官方定义（严格按考题记忆）

\(\boldsymbol{e = \frac{c}{a}}\)

• c：半焦距（两焦点间距的一半）
• a：半长轴（长轴的一半）

2) 取值范围（三大圆锥曲线区分，竞赛必背）

• Ellipse 椭圆：\(\boldsymbol{0 < e < 1}\)（椭圆专属）
• Parabola 抛物线：\(e = 1\)
• Hyperbola 双曲线：\(e > 1\)

3) 几何直观理解

• \(e \to 0\)：\(c\approx0\)，椭圆接近圆形；
• \(e \to 1\)：\(c\approx a\)，椭圆变得非常扁。

常用变形公式（你解题用到的推导式）

由 \(a^2 = b^2 + c^2\) 可推出：

\(\boldsymbol{e^2 = 1 – \frac{b^2}{a^2}}\)

（本题所有解法都依赖这个公式）