三角恒等练习三

题目（英文）

1. Simplify: \(\tan1^\circ\tan2^\circ + \tan2^\circ\tan3^\circ + \dots + \tan n^\circ \tan(n+1)^\circ\)
2. Evaluate: \(\cos\frac{\pi}{11} \cdot \cos\frac{2\pi}{11} \cdot \cos\frac{3\pi}{11} \cdot \cos\frac{4\pi}{11} \cdot \cos\frac{5\pi}{11}\)
3. Let integer \(k > 10\), and \(f(x) = \cos x \cdot \cos2x \cdot \cos3x \cdot \cos4x \cdot \dots \cdot \cos2^k x\). Replace one of the \(\cos\) in \(f(x)\) with \(\sin\) to get a function \(g(x)\). Question: Which \(\cos\) should be replaced with \(\sin\) so that \(|g(x)| \le \frac{3}{2^{k+1}}\)? Explain your reasoning.

题目（中文）

1. 化简：\(\tan1^\circ\tan2^\circ + \tan2^\circ\tan3^\circ + \dots + \tan n^\circ \tan(n+1)^\circ\)

问题 1：化简正切和式

核心思路：裂项相消（利用正切差角公式）

正切差角公式：\(\tan(A – B) = \frac{\tan A – \tan B}{1 + \tan A \tan B}\)

令 \(A = (k+1)^\circ\)，\(B = k^\circ\)，则 \(A – B = 1^\circ\)，代入公式得：

\(\tan1^\circ = \frac{\tan(k+1)^\circ – \tan k^\circ}{1 + \tan k^\circ \tan(k+1)^\circ}\)

整理得裂项公式：

\(\tan k^\circ \tan(k+1)^\circ = -1 + \frac{\tan(k+1)^\circ – \tan k^\circ}{\tan1^\circ}\)

求和化简

对 \(k=1\) 到 n 求和： \(\begin{align*} \sum_{k=1}^n \tan k^\circ \tan(k+1)^\circ &= \sum_{k=1}^n \left( -1 + \frac{\tan(k+1)^\circ – \tan k^\circ}{\tan1^\circ} \right) \\ &= -n + \frac{1}{\tan1^\circ} \sum_{k=1}^n \left( \tan(k+1)^\circ – \tan k^\circ \right) \\ &= -n + \frac{\tan(n+1)^\circ – \tan1^\circ}{\tan1^\circ} \\ &= \frac{\tan(n+1)^\circ}{\tan1^\circ} – (n + 1) \end{align*}\)

结果：\(\boxed{\dfrac{\tan(n+1)^\circ}{\tan1^\circ} – n – 1}\)（若为弧度制，形式相同，只需将 \(1^\circ\) 替换为 1 弧度）

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1. 求值：\(\cos\frac{\pi}{11} \cdot \cos\frac{2\pi}{11} \cdot \cos\frac{3\pi}{11} \cdot \cos\frac{4\pi}{11} \cdot \cos\frac{5\pi}{11}\)

问题 2：余弦乘积求值

核心思路：倍角公式与三角恒等式

设 P=cos11π​cos112π​cos113π​cos114π​cos115π​，利用倍角公式 sin2θ=2sinθcosθ，两边乘以 25sin11π​： 25sin11π​P​=25sin11π​cos11π​cos112π​cos113π​cos114π​cos115π​=24sin112π​cos112π​cos113π​cos114π​cos115π​=23sin114π​cos113π​cos114π​cos115π​=22sin118π​cos113π​cos115π​​

利用 sin118π​=sin(π−113π​)=sin113π​，继续化简： 22sin113π​cos113π​cos115π​​=2sin116π​cos115π​=2sin(π−115π​)cos115π​=2sin115π​cos115π​=sin1110π​=sin(π−11π​)=sin11π​​

因此：

32sin11π​P=sin11π​⟹P=321​

结果：321​​

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