Let \(a,b,c\) be positive integers. Prove that

\(\boldsymbol{\frac{\operatorname{lcm}(a,b,c)^2}{\operatorname{lcm}(a,b)\operatorname{lcm}(b,c)\operatorname{lcm}(c,a)}=\frac{\gcd(a,b,c)^2}{\gcd(a,b)\gcd(b,c)\gcd(c,a)}}\)

设 \(a,b,c\) 是正整数，求证：
\(\boldsymbol{\frac{[a,b,c]^2}{[a,b][b,c][c,a]}=\frac{(a,b,c)^2}{(a,b)(b,c)(c,a)}}\)
其中 \([x,y]\) 表示最小公倍数（\(\operatorname{lcm}\)），\((x,y)\) 表示最大公约数（\(\gcd\)）。

证明（素因子指数法，数论标准解法）

核心原理

对任意素数 p，记 \(v_p(n)\) 为正整数 n 中素因子 p 的指数，有：

1. \(v_p(\gcd(x,y))=\min\{v_p(x),v_p(y)\},\quad v_p(\operatorname{lcm}(x,y))=\max\{v_p(x),v_p(y)\}\)
2. 同理：\(v_p(\gcd(a,b,c))=\min\{\alpha,\beta,\gamma\},\ v_p(\operatorname{lcm}(a,b,c))=\max\{\alpha,\beta,\gamma\}\)其中 \(\alpha=v_p(a),\ \beta=v_p(b),\ \gamma=v_p(c)\)。

步骤 1：写出等式两边的素因子指数

等式左边对素数 p 的指数：

\(L=2\max\{\alpha,\beta,\gamma\}-\max\{\alpha,\beta\}-\max\{\beta,\gamma\}-\max\{\gamma,\alpha\}\)

等式右边对素数 p 的指数：

\(R=2\min\{\alpha,\beta,\gamma\}-\min\{\alpha,\beta\}-\min\{\beta,\gamma\}-\min\{\gamma,\alpha\}\)

只需证明：对任意 \(\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{N}\)，有 \(L=R\)。

步骤 2：排序简化（对称性）

不妨设 \(\boldsymbol{\alpha\ge\beta\ge\gamma}\)（\(\alpha,\beta,\gamma\) 对称，不影响结果）：

• 计算左边指数：

\(\begin{align*} L&=2\alpha-\max(\alpha,\beta)-\max(\beta,\gamma)-\max(\gamma,\alpha)\\ &=2\alpha-\alpha-\beta-\alpha\\ &=-\beta \end{align*}\)

• 计算右边指数：

\(\begin{align*} R&=2\gamma-\min(\alpha,\beta)-\min(\beta,\gamma)-\min(\gamma,\alpha)\\ &=2\gamma-\beta-\gamma-\gamma\\ &=-\beta \end{align*}\)

步骤 3：结论

对任意素数 p，左右两边素因子 p 的指数相等，因此原等式成立。

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Find all prime numbers p such that \(p^2+2543\) has fewer than 16 distinct positive divisors.

求所有使 \(p^2+2543\) 具有少于 16 个不同正因子的素数 p。

预备知识

正整数的正因子个数公式：

若正整数 \(n=\prod_{i=1}^k q_i^{e_i}\)（\(q_i\) 为不同素数，\(e_i\) 为正整数），则其不同正因子个数

\(\boldsymbol{d(n)=\prod_{i=1}^k (e_i+1)}.\)

题目要求：\(\boldsymbol{d(p^2+2543)<16}\)。

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完整解答

步骤 1：小素数代入检验

① \(p=2\)

\(p^2+2543=2^2+2543=2547\)

分解素因子：\(2547=3^2\times283\)（283 是质数）。

因子个数：\(d(2547)=(2+1)(1+1)=6<16\)，符合条件。

② \(p=3\)

\(p^2+2543=3^2+2543=2552\)

分解素因子：\(2552=2^3\times11\times29\)。

因子个数：\(d(2552)=(3+1)(1+1)(1+1)=16\)，不满足少于 16 个，不符合条件。

步骤 2：分析 \(p>3\) 的奇素数

对大于 3 的素数 p，由数论性质：

• 奇数平方满足：\(p^2\equiv1\pmod8\)；
• 不被 3 整除的数平方满足：\(p^2\equiv1\pmod3\)；因此 \(\boldsymbol{p^2\equiv1\pmod{24}}\)。

计算 \(2543\pmod{24}\)：\(2543=24\times105+23\)，即 \(2543\equiv23\pmod{24}\)。

故

\(p^2+2543\equiv1+23=24\pmod{24},\)

即 \(\boldsymbol{24\mid p^2+2543}\)，即 \(2^3\cdot3\mid p^2+2543\)。

设 \(N=p^2+2543=2^a\cdot3^b\cdot c\)，其中 \(\gcd(c,6)=1\)，则

\(a\ge3,\ b\ge1.\)

因子个数 \(d(N)=(a+1)(b+1)d(c)<16\)。

步骤 3：分情况讨论 c

1. 若 \(c=1\)（仅含素因子 2,3）\(d(N)=(a+1)(b+1)<16\)，\(a\ge3,b\ge1\)。最小的 \(2^3\cdot3=24<2543\)，\(2^a3^b-2543\) 恒为负数，无素数解。
2. 若 c 为单个素数\(d(N)=2(a+1)(b+1)<16\Rightarrow(a+1)(b+1)<8\)。但 \(a\ge3\Rightarrow a+1\ge4,\ b\ge1\Rightarrow b+1\ge2\)，故 \((a+1)(b+1)\ge8\)，矛盾，无解。
3. 若 c 含 2 个及以上素因子
   • 2 个不同素因子：\(N=2^a3^b q_1 q_2\)，\(d(N)=2\times2\times2\times2=16\)，不满足；
   • 更高次 / 更多素因子：因子个数必大于 16，无解。

最终结论

唯一满足条件的素数为 \(\boldsymbol{p=2}\)。

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下面这个题目不需要做，仅仅听一遍证明过程即可

Given the product of all positive divisors of a positive integer, can we always uniquely determine this positive integer?

完整解答

步骤 1：推导正整数的因数乘积公式

设正整数 n 的正因数个数为 \(d(n)\)。

对 n 的任意正因数 d，\(\boldsymbol{\dfrac{n}{d}}\) 也一定是 n 的正因数，即因数可以两两配对，且每一对因数的乘积等于 n。

总共有 \(\boldsymbol{\dfrac{d(n)}{2}}\) 组配对，因此 n 的所有正因数的乘积为：

\(\boldsymbol{P=n^{\frac{d(n)}{2}}}\)

示例：\(n=10\)，正因数为 \(1,2,5,10\)，\(d(n)=4\)，因数乘积 \(1\times2\times5\times10=100=10^{\frac{4}{2}}\)，验证公式成立。

步骤 2：严格证明唯一性

假设存在两个不同的正整数 \(m \neq n\)，使得二者的所有正因数乘积相等，即

\(m^{\frac{d(m)}{2}}=n^{\frac{d(n)}{2}} \implies \boldsymbol{m^{d(m)}=n^{d(n)}}.\)

对 \(m,n\) 做素因数分解：

设

\(n=\prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i},\quad m=\prod_{i=1}^k p_i^{\beta_i}\)

其中 \(p_i\) 为素数，\(\alpha_i,\beta_i\) 为非负整数。

由正因数个数公式：

\(d(n)=\prod_{i=1}^k (\alpha_i+1),\quad d(m)=\prod_{i=1}^k (\beta_i+1).\)

对比 \(m^{d(m)}=n^{d(n)}\) 两侧的素因子指数，对每个素数 \(p_i\)，有

\(\alpha_i \cdot d(n)=\beta_i \cdot d(m) \implies \boldsymbol{\frac{\alpha_i}{\beta_i}=\frac{d(m)}{d(n)}=\lambda}\)

其中 \(\lambda\) 是与素数下标无关的定值，即 \(\boldsymbol{\alpha_i=\lambda\beta_i}\) 对所有 i 成立。

将 \(\alpha_i=\lambda\beta_i\) 代入因数个数公式：

\(\prod_{i=1}^k (\beta_i+1)=\lambda \cdot \prod_{i=1}^k (\lambda\beta_i+1).\)

• 若 \(\boldsymbol{\lambda>1}\)：则 \(\lambda\beta_i+1>\beta_i+1\)，故 \(\prod(\lambda\beta_i+1)>\prod(\beta_i+1)\)，右边 \(\lambda\prod(\lambda\beta_i+1)>\prod(\beta_i+1)=\) 左边，矛盾；
• 若 \(\boldsymbol{\lambda<1}\)：同理可推出矛盾；

因此只能 \(\boldsymbol{\lambda=1}\)，即 \(\alpha_i=\beta_i\)，故 \(m=n\)。

最终结论

已知正整数的所有正因数的乘积，总能唯一确定这个正整数。