Find all prime numbers p such that \(4p^2+1\) and \(6p^2+1\) are also prime numbers.

求所有素数 p，使 \(4p^2+1\) 和 \(6p^2+1\) 也是素数。

解答

步骤 1：分析素数的模 5 性质

除 5 以外，所有素数 p 除以 5 的余数只能为 \(1,2,3,4\)，因此 \(p^2 \pmod{5}\) 只有两种结果：

• 若 \(p\equiv1,4\pmod{5}\)，则 \(p^2\equiv1\pmod{5}\)
• 若 \(p\equiv2,3\pmod{5}\)，则 \(p^2\equiv4\pmod{5}\)

步骤 2：分情况讨论

1. 当 \(p\neq5\) 时
   • 若 \(p^2\equiv1\pmod{5}\)：\(4p^2+1 \equiv 4\times1+1=5\equiv0\pmod{5}\)，即 \(5\mid(4p^2+1)\)。又 \(4p^2+1>5\)，故 \(4p^2+1\) 是合数。
   • 若 \(p^2\equiv4\pmod{5}\)：\(6p^2+1 \equiv 6\times4+1=25\equiv0\pmod{5}\)，即 \(5\mid(6p^2+1)\)。又 \(6p^2+1>5\)，故 \(6p^2+1\) 是合数。因此除 \(p=5\) 外，其他素数均不满足条件。
2. 检验 \(p=5\)
   • \(4\times5^2+1=4\times25+1=\boldsymbol{101}\)（素数）
   • \(6\times5^2+1=6\times25+1=\boldsymbol{151}\)（素数）满足题意。

步骤 3：验证小素数（辅助核验）

• \(p=2\)：\(4\times2^2+1=17\)（素），\(6\times2^2+1=25\)（合），舍去；
• \(p=3\)：\(4\times3^2+1=37\)（素），\(6\times3^2+1=55\)（合），舍去。

综上，唯一满足条件的素数为 \(\boldsymbol{5}\)。

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Find all prime numbers p such that there exist positive integers \(x,y\) satisfying \(p^x=y^3+1\).

求所有素数 p，使得存在正整数 \(x,y\)，满足 \(p^x=y^3+1\)。

完整规范解答

步骤 1：因式分解

由立方和公式： \(p^x=y^3+1=(y+1)(y^2-y+1)\)

因为 p 是素数，因此 \(y+1\)、\(y^2-y+1\) 均为 p 的幂次。

设 \(y+1=p^t,\quad y^2-y+1=p^{x-t}\quad(t\in\mathbb{N}^*, \ t<x)\)

由 \(y=p^t-1\)，代入第二个式子： \((p^t-1)^2-(p^t-1)+1=p^{x-t}\)

展开化简： \(\boldsymbol{p^{2t}-3p^t+3=p^{x-t}}\)

步骤 2：分两类讨论

① 当 \(\boldsymbol{x-t=0}\)（即 \(p^{x-t}=1\)）

代入得方程： \(p^{2t}-3p^t+2=0\)

令 \(u=p^t\)，则 \(u^2-3u+2=0\)，解得 \(u=1\) 或 \(u=2\)。

• \(u=1\)：\(p^t=1\)，无正整数解，舍去；
• \(u=2\)：\(p^t=2\)，素数解为 \(\boldsymbol{p=2,\ t=1}\)。此时 \(y=2^1-1=1\)，验证：\(2^1=1^3+1\)，成立。

② 当 \(\boldsymbol{x-t>0}\)

此时 \(p\mid p^{x-t}=p^{2t}-3p^t+3\)，故 \(p\mid3\)。

p 为素数，因此 \(\boldsymbol{p=3}\)。

将 \(p=3\) 代入核心方程： \(3^{2t}-3^{t+1}+3=3^{x-t}\)

模 9 分析：

• 若 \(t\ge2\)，左边是 9 的倍数\(+1\)，右边是 3 的幂，矛盾；
• 仅 \(t=1\) 可行，代入得：\(3^2-3^2+3=3^1 \implies x-t=1\)解得 \(t=1,\ x=2\)，此时 \(y=3^1-1=2\)，验证：\(3^2=2^3+1\)，成立。

步骤 3：结论

综上，满足条件的素数为 \(\boldsymbol{2}\) 和 \(\boldsymbol{3}\)。