赛瓦练习

As shown in the figure, in quadrilateral $ABCD$, the diagonal $AC$ bisects $\mathrm{\angle }BAD$. Let $E$E be an arbitrary point on side $CD$. Let $BE$BE intersect $AC$ at point $F$, and extend $DF$ to intersect $BC$ at point $G$. Prove that $\mathrm{\angle }GAC=\mathrm{\angle }EAC$.

在四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 平分 $\mathrm{\angle }BAD$，在 $CD$ 上任取一点 $E$，记 $BE$ 交 $AC$ 于点 $F$，延长 $DF$ 交 $BC$ 于点 $G$。求证：$\mathrm{\angle }GAC=\mathrm{\angle }EAC$。

这是一个非常经典的几何题目，通常被称为**“角平分线与塞瓦定理”**的综合应用。图片中的手写笔记其实已经给出了非常正确的解题思路：利用平行线构造全等三角形。

以下是整理后的完整证明过程：

证明思路

我们要证明 $\mathrm{\angle }GAC=\mathrm{\angle }EAC$∠GAC=∠EAC，即证明 $AC$AC 平分 $\mathrm{\angle }GAE$∠GAE。 我们可以尝试构造两个三角形，使得 $AC$AC 是它们的公共边，并且通过证明这两个三角形全等来得到角相等。 根据图片提示，我们可以通过作平行线来构造这两个三角形。

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详细证明步骤

1. 作辅助线

• 延长 $AG$AG 至点 $M$M，使得 $CM\parallel AB$CM∥AB。
• 延长 $AE$AE 至点 $N$N，使得 $CN\parallel AD$CN∥AD。
• 设对角线 $AC$AC 与 $BD$BD 相交于点 $K$K。

2. 证明 ∠MCA=∠NCA∠MCA=∠NCA

• $\because CM\parallel AB$∵CM∥AB $\therefore \mathrm{\angle }MCA=\mathrm{\angle }BAC$∴∠MCA=∠BAC （两直线平行，内错角相等）
• $\because CN\parallel AD$∵CN∥AD $\therefore \mathrm{\angle }NCA=\mathrm{\angle }DAC$∴∠NCA=∠DAC （两直线平行，内错角相等）
• $\because AC$∵AC 平分 $\mathrm{\angle }BAD$∠BAD $\therefore \mathrm{\angle }BAC=\mathrm{\angle }DAC$∴∠BAC=∠DAC
• ∴∠MCA=∠NCA∴∠MCA=∠NCA

3. 利用相似三角形表示 CMCM 和 CNCN

• 在 $\mathrm{△}ABG$△ABG 中，$\because CM\parallel AB$∵CM∥AB $\therefore \mathrm{△}GCM\sim \mathrm{△}GBA$∴△GCM∼△GBA $\therefore \frac{CM}{AB}=\frac{GC}{GB}⟹\mathbf{C}\mathbf{M}=\mathbf{A}\mathbf{B}\cdot \frac{\mathbf{G}\mathbf{C}}{\mathbf{G}\mathbf{B}}$∴ABCM​=GBGC​⟹CM=AB⋅GBGC​ ①
• 在 $\mathrm{△}ADE$△ADE 中，$\because CN\parallel AD$∵CN∥AD $\therefore \mathrm{△}ECN\sim \mathrm{△}EDA$∴△ECN∼△EDA $\therefore \frac{CN}{AD}=\frac{CE}{DE}⟹\mathbf{C}\mathbf{N}=\mathbf{A}\mathbf{D}\cdot \frac{\mathbf{C}\mathbf{E}}{\mathbf{D}\mathbf{E}}$∴ADCN​=DECE​⟹CN=AD⋅DECE​ ②

4. 利用塞瓦定理和角平分线定理证明 CM=CNCM=CN

• 在 △BCD△BCD 中应用塞瓦定理（Ceva’s Theorem）： 直线 $BE$BE、$DG$DG、$CK$CK（即 $AC$AC）交于一点 $F$F。 根据塞瓦定理，有： $\frac{CE}{ED}\cdot \frac{DK}{KB}\cdot \frac{BG}{GC}=1$EDCE​⋅KBDK​⋅GCBG​=1
• 在 △ABD△ABD 中应用角平分线定理： $\because AK$∵AK 平分 $\mathrm{\angle }BAD$∠BAD $\therefore \frac{DK}{KB}=\frac{AD}{AB}$∴KBDK​=ABAD​
• 联立上述两式： 将 $\frac{DK}{KB}$KBDK​ 替换代入塞瓦定理的式子中： $\frac{CE}{ED}\cdot \frac{AD}{AB}\cdot \frac{BG}{GC}=1$EDCE​⋅ABAD​⋅GCBG​=1 整理得： $\frac{AD}{AB}=\frac{ED}{CE}\cdot \frac{GC}{BG}$ABAD​=CEED​⋅BGGC​ 即： $\frac{AB}{AD}=\frac{CE}{ED}\cdot \frac{BG}{GC}$ADAB​=EDCE​⋅GCBG​ 变形为： $AB\cdot \frac{GC}{BG}=AD\cdot \frac{CE}{ED}$AB⋅BGGC​=AD⋅EDCE​
• 对比 ① 式和 ② 式，我们可以发现等式左边正是 $CM$CM，右边正是 $CN$CN。 ∴CM=CN∴CM=CN

5. 证明三角形全等并得出结论

• 在 $\mathrm{△}ACM$△ACM 和 $\mathrm{△}ACN$△ACN 中：

$$\{\begin{array}{l}CM=CN(\text{已证})\\ \mathrm{\angle }MCA=\mathrm{\angle }NCA(\text{已证})\\ AC=AC(\text{公共边})\end{array}$$⎩⎨⎧​CM=CN(已证)∠MCA=∠NCA(已证)AC=AC(公共边)​

• $\therefore \mathrm{△}ACM\cong \mathrm{△}ACN$∴△ACM≅△ACN (SAS)
• $\therefore \mathrm{\angle }MAC=\mathrm{\angle }NAC$∴∠MAC=∠NAC
• 即 ∠GAC=∠EAC∠GAC=∠EAC

证毕。