三角形内角平分线定理Angle Bisector Theorem

1. 定理内容

在三角形中，一个内角的平分线分对边所成的两条线段，与这个角的两边对应成比例。

2. 数学表达

如图（想象一个 $\mathrm{△}ABC$△ABC），如果 $AD$AD 是 $\mathrm{\angle }BAC$∠BAC 的角平分线，交对边 $BC$BC 于点 $D$D，那么有：

$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$ACAB​=CDBD​

或者写作： $AB:AC=BD:CD$AB:AC=BD:CD

3. 逆定理

如果三角形一个顶点到对边上一点的连线，分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例，那么这条连线是这个角的平分线。 即：若 $\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$ACAB​=CDBD​，则 $AD$AD 平分 $\mathrm{\angle }BAC$∠BAC。

4. 补充：外角平分线定理

与内角平分线定理相对应，还有三角形外角平分线定理： 三角形一个角的外角平分线外分对边所成的两条线段，与这个角的两边对应成比例。 （即：若 $A{D}^{\mathrm{\prime }}$AD′ 是 $\mathrm{△}ABC$△ABC 外角 $\mathrm{\angle }CAE$∠CAE 的平分线，交 $BC$BC 的延长线于 $D^{\mathrm{\prime }}$D′，则 $\frac{AB}{AC}=\frac{B{D}^{\mathrm{\prime }}}{C{D}^{\mathrm{\prime }}}$ACAB​=CD′BD′​）