A complex number is written as

\(\boldsymbol{z=x+yi}\)

• \(x=\operatorname{Re}(z)\): Real part
• \(y=\operatorname{Im}(z)\): Imaginary part
• i: Imaginary unit, with \(\boldsymbol{i^2=-1}\)

\(|z|\) is the distance from point \((x,y)\) to the origin \((0,0)\) on the complex plane.
Formula:
\(\boldsymbol{|z|=\sqrt{x^2+y^2}}\)
If \(|z|=2\), then \(x^2+y^2=4\).

\((a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i\)

• \(z^2=z\cdot z\): square of z
• \(z^3=z\cdot z\cdot z\): cube of z

De Moivre’s Theorem

For \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\) and positive integer n,
\(\boldsymbol{z^n=r^n\big(\cos n\theta+i\sin n\theta\big)}\)

Shoelace Formula

Conditions:

1. Calculates area of simple planar polygons
2. Vertices must be ordered clockwise or counter‑clockwise
3. Use Cartesian coordinates \((x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots,(x_n,y_n)\)
4. Close the polygon by returning to the first vertex

\(\boldsymbol{\text{Area}=\frac12\left| \sum_{i=1}^n (x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i) \right|}\)
with \((x_{n+1},y_{n+1})=(x_1,y_1)\).

Reading more: https://en.wikipedia.org/wiki/Shoelace_formula

https://blogs.sas.com/content/iml/2022/11/02/area-perimeter-convex-hull.html

1. 复数定义（Definition）

中文：复数标准形式为

\(\boldsymbol{z=x+yi}\)

• \(x=\operatorname{Re}(z)\)：实部（Real Part）
• \(y=\operatorname{Im}(z)\)：虚部（Imaginary Part）
• i：虚数单位，核心规则 \(\boldsymbol{i^2=-1}\)

2. 复数的模 \(|z|\)（Modulus / Absolute Value）

中文：\(|z|\) 不是普通绝对值，是复平面上点 \((x,y)\) 到原点 \((0,0)\) 的距离

公式：

\(\boldsymbol{|z|=\sqrt{x^2+y^2}}\)

几何意义：复数在平面上的点到原点的距离。

题目 \(|z|=2\)，即 \(x^2+y^2=4\)，z 在半径为 2 的圆上。

3. 复数乘法与乘方（Multiplication & Powers）

代数乘法规则

中文：

\((a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i\)

• \(z^2=z\times z\)：复数自乘
• \(z^3=z\times z\times z\)：复数三次方

极坐标下的快速乘方（棣莫弗定理核心）

复数写成极坐标：\(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)

• 模：\(r=|z|\)
• 辐角：\(\theta\)（与 x 轴正方向夹角）

棣莫弗定理（De Moivre’s Theorem）【重点详解】

1. 定理内容

中文：若复数 \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)，对任意正整数 n，

\(\boldsymbol{z^n=r^n\big(\cos n\theta+i\sin n\theta\big)}\)

乘方的 2 个核心结论（必背）

1. 模：乘方：\(|z^n|=|z|^n\)（距离取 n 次方）
2. 辐角：翻倍 / 乘 n：\(z^n\) 的角度 = z 的角度 × n

鞋带公式（Shoelace Formula）

用于计算平面简单多边形面积（四边形、五边形等） 顶点必须按顺时针 / 逆时针顺序依次排列，不能乱序 给出每个顶点的平面直角坐标 \((x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots,(x_n,y_n)\) 最后一个点必须连回第一个点闭合图形

\(\boldsymbol{\text{Area}=\frac12\left| \sum_{i=1}^n (x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i) \right|}\)
其中 \((x_{n+1},y_{n+1})=(x_1,y_1)\)，绝对值保证面积为正。

. 计算步骤

1. 把顶点按顺序竖着列，最后重复第一个点
2. 右下对角线相乘求和
3. 左下对角线相乘求和
4. 两式相减取绝对值，除以 2

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练习题

2024 AMC 12B Problems/Problem 12

D 3/2

Suppose  is a complex number with positive imaginary part, with real part greater than , and with . In the complex plane, the four points , , , and  are the vertices of a quadrilateral with area . What is the imaginary part of ?

2023 AMC 12A Problems/Problem 14

How many complex numbers satisfy the equation , where  is the conjugate of the complex number ?

Q2

核心预备知识

1. 设复数三角形式：\(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)，模长 \(r=|z|\ge0\)，则共轭复数\(\overline{z}=r\big(\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)\big)\)
2. 棣莫弗定理：\(z^n = r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)\)
3. 两复数相等 \(\iff\) 模长相等 且 辐角相差 \(2k\pi\ (k\in\mathbb Z)\)

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完整解题过程

设 \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)，代入原方程：

\(z^5 = \overline{z}\)

由棣莫弗定理展开左右两侧：

$ \(r^5\big(\cos5\theta+i\sin5\theta\big) = r\big(\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)\big)\)

步骤1：根据「模长相等」列方程

\(r^5 = r\)

整理因式分解： \(r^5 – r = 0 \implies r(r^4-1)=0 \implies r(r^2-1)(r^2+1)=0\)

因为模长 \(r\ge0\) 为实数，\(r^2+1>0\) 恒成立，因此只有两种情况： \(\boldsymbol{r=0} \quad \text{或} \quad \boldsymbol{r=1}\)

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情况一：\(\boldsymbol{r=0}\)

此时 \(z=0\cdot(\cos\theta+i\sin\theta)=0\)。

代入原方程验证：\(0^5=\overline{0}\)，等式成立。

👉 此情况有 \(\boldsymbol{1}\) 个解：\(z=0\)

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情况二：\(\boldsymbol{r=1}\)

模长已满足，再根据「辐角相等（相差 \(2k\pi\)）」列方程： \(5\theta = -\theta + 2k\pi,\quad k\in\mathbb Z\)

化简： \(6\theta = 2k\pi \implies \theta = \frac{k\pi}{3},\quad k\in\mathbb Z\)

复数辐角周期为 \(2\pi\)，只需取 \(k=0,1,2,3,4,5\) 即可得到全部不同复数（\(k\ge6\) 会重复）：

1. \(k=0\)：\(\theta=0 \implies z=1\)
2. \(k=1\)：\(\theta=\dfrac{\pi}{3} \implies z=\dfrac12+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\)
3. \(k=2\)：\(\theta=\dfrac{2\pi}{3} \implies z=-\dfrac12+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\)
4. \(k=3\)：\(\theta=\pi \implies z=-1\)
5. \(k=4\)：\(\theta=\dfrac{4\pi}{3} \implies z=-\dfrac12-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\)
6. \(k=5\)：\(\theta=\dfrac{5\pi}{3} \implies z=\dfrac12-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\)

👉 此情况有 \(\boldsymbol{6}\) 个互不相同的非零解

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总解数

两类解无重复（一类为 0，一类全是非零复数）： \(\text{总个数} = 1 + 6 = \boldsymbol{7}\)

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答案与易错点

1. 最终答案：\(\boldsymbol{E}\)
2. 常见错误
   • 漏掉 \(z=0\) 这个特殊解，只算出6个解，误选D；
   • 解辐角方程时取值范围出错，少算/多算根的数量。

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补充简便解法（利用共轭性质）

当 \(z\neq0\) 时，对 \(z^5=\overline{z}\) 两边取模： \(|z|^5=|z| \implies |z|^4=1 \implies |z|=1\)

由共轭复数结论：\(|z|=1 \iff \overline{z}=\dfrac{1}{z}\)，代入原方程： \(z^5 = \frac{1}{z} \implies z^6=1\)

方程 \(z^6=1\) 是6次单位根，有6个不同非零解；

再加零解 \(z=0\)，总计7个解。

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