NT8 整除分析[C Done][难题太多先放放]

与整除有关的大小估计

核心性质

若整数 \(a, b\) 满足 \(a \mid b\)（即 a 整除 b）且 \(b \neq 0\)，则 \(|a| \le |b|\)。

原理推导

根据整除定义，存在整数 k 使得 \(b = a \cdot k\)。若 \(b \neq 0\)，则 \(k \neq 0\)，因此 \(|k| \ge 1\)。两边取绝对值得：

\(|b| = |a| \cdot |k| \ge |a| \implies |a| \le |b|\)

应用场景

求解整除方程（如 “求整数 n 使得 \(a(n) \mid b(n)\)”）时，利用该性质可将 n 的取值限制在有限范围内，再通过枚举检验找到所有解，这就是 “大小估计” 的核心思想。

实例讨论：求所有整数 n 满足 \(n^2 \mid n+2\)

我们的目标是找到所有整数 n，使得 \(n^2\) 整除 \(n+2\)（即 \(n^2 \mid n+2\)）。

步骤 1：分情况讨论（被除数是否为 0）

整除问题中，被除数为 0 和非 0 的情况需分开处理：

情况 1：\(n+2 = 0\)（被除数为 0）

此时 \(n = -2\)，被除数为 0。根据整除定义，任何非零整数都能整除 0（因为 \(0 = a \cdot 0\)），而 \(n^2 = (-2)^2 = 4 \neq 0\)，因此 \(4 \mid 0\) 成立，故 \(n=-2\) 是一个解。

情况 2：\(n+2 \neq 0\)（被除数非 0）

此时可应用核心性质：因为 \(n^2 \mid n+2\) 且 \(n+2 \neq 0\)，所以 \(|n^2| \le |n+2|\)。

由于 \(n^2 \ge 0\)，不等式简化为：

\(n^2 \le |n+2|\)

步骤 2：解不等式 \(n^2 \le |n+2|\)

分两种子情况讨论绝对值：

子情况 2.1：\(n+2 \ge 0\)（即 \(n \ge -2\)）

此时 \(|n+2| = n+2\)，不等式变为：

\(n^2 \le n + 2\)

整理得：

\(n^2 – n – 2 \le 0 \implies (n-2)(n+1) \le 0\)

二次函数开口向上，解集为 \(-1 \le n \le 2\)。结合 \(n \ge -2\)，整数 n 的候选值为：\(-1, 0, 1, 2\)。

子情况 2.2：\(n+2 < 0\)（即 \(n < -2\)）

此时 \(|n+2| = -n-2\)，不等式变为：

\(n^2 \le -n – 2 \implies n^2 + n + 2 \le 0\)

二次函数 \(y = n^2 + n + 2\) 的判别式 \(\Delta = 1 – 8 = -7 < 0\)，且二次项系数为正，因此 \(y > 0\) 恒成立，不等式无解。

综上，当 \(n+2 \neq 0\) 时，n 的候选值为 \(-1, 0, 1, 2\)。

步骤 3：检验候选解（除数不能为 0）

• \(n=-1\)：\(n^2=1\)，\(n+2=1\)，\(1 \mid 1\)，成立。
• \(n=0\)：\(n^2=0\)，除数为 0，无意义，排除。
• \(n=1\)：\(n^2=1\)，\(n+2=3\)，\(1 \mid 3\)，成立（1 整除任何整数）。
• \(n=2\)：\(n^2=4\)，\(n+2=4\)，\(4 \mid 4\)，成立（商为 1）。

步骤 4：汇总所有解

结合情况 1 和情况 2，所有满足 \(n^2 \mid n+2\) 的整数 n 为：

\(\boxed{n = -2, -1, 1, 2}\)

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这个部分的例题难度太大，暂时略过