Key Set Identities

• Idempotent laws: $A\cup A=A,A\cap A=A$
• Commutative laws: $A\cup B=B\cup A,A\cap B=B\cap A$
• Associative laws: $(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$
• Distributive laws: $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$
• De Morgan’s laws:

In set theory, it is often stated as “union and intersection interchange under complementation”,^[5] which can be formally expressed as:

where:

• ${\displaystyle \overline{A}}$is the negation of ${\displaystyle A}$, the overline being written above the terms to be negated,
• ${\displaystyle \cap }$ is the intersection operator (AND),
• ${\displaystyle \cup }$ is the union operator (OR).

例1：第一定律 $\overline{A\cup B}=\bar{A}\cap \bar{B}$A∪B=A∩B

• 全集：$U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
• $A=\{2,4,6,8,10\}$A={2,4,6,8,10} （偶数）
• $B=\{3,6,9\}$B={3,6,9} （3的倍数）

左侧计算 A∪B‾A∪B：

• $A\cup B=\{2,3,4,6,8,9,10\}$A∪B={2,3,4,6,8,9,10}
• $\overline{A\cup B}=U\setminus (A\cup B)=\{1,5,7\}$A∪B=U∖(A∪B)={1,5,7}

右侧计算 A‾∩B‾A∩B：

• $\bar{A}=\{1,3,5,7,9\}$A={1,3,5,7,9} （奇数）
• $\bar{B}=\{1,2,4,5,7,8,10\}$B={1,2,4,5,7,8,10} （非3的倍数）
• $\bar{A}\cap \bar{B}=\{1,5,7\}$A∩B={1,5,7}

✅ 两侧相等：$\{1,5,7\}=\{1,5,7\}${1,5,7}={1,5,7}

直观理解：既不是偶数 也不是 3的倍数 → 只能是 1, 5, 7

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例2：第二定律 $\overline{A\cap B}=\bar{A}\cup \bar{B}$A∩B=A∪B

使用相同集合：

• $A\cap B=\{6\}$A∩B={6} （既是偶数又是3的倍数）
• $\overline{A\cap B}=U\setminus \{6\}=\{1,2,3,4,5,7,8,9,10\}$A∩B=U∖{6}={1,2,3,4,5,7,8,9,10}

右侧：

• $\bar{A}=\{1,3,5,7,9\}$A={1,3,5,7,9}
• $\bar{B}=\{1,2,4,5,7,8,10\}$B={1,2,4,5,7,8,10}
• $\bar{A}\cup \bar{B}=\{1,2,3,4,5,7,8,9,10\}$A∪B={1,2,3,4,5,7,8,9,10}

✅ 两侧相等

直观理解：不是”既是偶数又是3的倍数” → 只要不是偶数 或 不是3的倍数 即可（6是唯一同时满足两者的数，排除它即可）

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三、日常生活实例（增强理解）

场景：班级学生兴趣调查

• 全集 $U$U：某班40名学生
• $A$A：喜欢篮球的学生（25人）
• $B$B：喜欢足球的学生（20人）
• $A\cap B$A∩B：两项都喜欢（10人）

第一定律应用：

问题：既不喜欢篮球 也不喜欢 足球的学生有哪些？

• 左侧：$\overline{A\cup B}$A∪B = 不在”喜欢篮球或足球”集合中的人
• 右侧：$\bar{A}\cap \bar{B}$A∩B = 不喜欢篮球 且 不喜欢足球的人
• 结果：$40-(25+20-10)=5$40−(25+20−10)=5 人

✅ 两种表述等价：“不喜欢任一项” = “两项都不喜欢”

第二定律应用：

问题：不是”既喜欢篮球又喜欢足球”的学生有哪些？

• 左侧：$\overline{A\cap B}$A∩B = 排除那10个两项都喜欢的学生 → 30人
• 右侧：$\bar{A}\cup \bar{B}$A∪B = 不喜欢篮球 或 不喜欢足球的人
  • 不喜欢篮球：15人
  • 不喜欢足球：20人
  • 但有5人两项都不喜欢（重复计数）
  • 总计：$15+20-5=30$15+20−5=30 人
• ✅ 两侧相等

💡 关键洞察：“不是两者都” ≠ “两者都不是”

• “不是两者都” = 至少有一项不喜欢（30人）← 第二定律
• “两者都不是” = 两项都不喜欢（5人）← 第一定律