The first three terms of a geometric sequence are the integers  and  where  What is the sum of the digits of the least possible value of 

一个等比数列的前三项是整数 \(a,\,720,\,b\)，满足 \(a<720<b\)。求最小可能的 b 的各位数字之和是多少？

完整解题总结

一、学生典型错误深度剖析

1. 学生错误解题逻辑

该学生默认等比数列的公比一定是整数，认为 720 最小质因数为 2，因此直接取公比 \(r=2\)，推导出 \(a=720\div2=360\)，\(b=720\times2=1440\)，最终计算数字和为 \(1+4+4+0=9\)。

2. 两处核心知识性错误

① 主观固化思维：认为等比数列公比必为整数，忽略公比可以是正有理数（最简分数）；

② 因数范围混淆：由等比中项 \(ab=720^2\)，\(a、b\) 是 \(720^2\) 的因数，而非 720 的因数，学生缩小了取值范围。

3. 该错误在数学竞赛中的危害

在 AMC 等国际中学数学竞赛中，整数公比的等比数列只是极特殊的特例，绝大多数整数项等比数列的公比为最简分数。

若形成 “公比必为整数” 的思维定式，会直接排除最优解，算出偏大的 b；同时违背 “乘积固定时，两个因数越接近，大数越小” 的最值逻辑，永远找不到最小的 b，导致答案完全偏离正确结果。

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二、本题完整严谨解题步骤

步骤 1：利用等比中项建立基础关系

已知整数等比数列前三项为 \(a,\,720,\,b\)，满足 \(a<720<b\)。

根据等比中项核心性质：中间项的平方等于前后两项乘积，即

\(720^2 = a\cdot b\)

设公比为 r，则 \(720=ar,\ b=720r\)，变形得：

\(a=\frac{720}{r},\quad b=720r\)

步骤 2：设定最简分数形式的公比

因 \(a、b\) 均为整数，公比 r 一定是正有理数。

令 \(r=\frac{m}{n}\)（\(m、n\) 为互质正整数，且 \(m>n\)，分数为最简形式）。

代入得：

\(a=720\cdot\frac{n}{m},\quad b=720\cdot\frac{m}{n}\)

由于 \(m、n\) 互质，可推出 \(m、n\) 均为 720 的因数。

步骤 3：质因数分解，锁定可拆分的质因数

对 720 做质因数分解：

\(720=2^4\cdot 3^2\cdot 5\)

质因数为 \(2、3、5\)。

因 \(m、n\) 互质，二者不能共用任何质因数，需将 3 个质因数拆分为两组，分别分配给 n 和 m；想要 b 最小，就要让 \(\frac{m}{n}>1\) 且尽可能小。

步骤 4：枚举所有合法拆分，找到最小比值

枚举所有质因数拆分组合，计算比值：

1. \(n=3^2\times5=15,\ m=2^4=16\)，\(\frac{m}{n}=\frac{16}{15}\approx1.0667\)
2. \(n=2\times5=10,\ m=3^2=9\)，\(\frac{m}{n}=\frac{10}{9}\approx1.111\)
3. \(n=2\times3=6,\ m=5\)，\(\frac{m}{n}=\frac{6}{5}=1.2\)

对比可知，大于 1 的最小最简分数为 \(\boldsymbol{\frac{16}{15}}\)。

步骤 5：计算 \(a、b\) 并验证合理性

\(a=720\times\frac{15}{16}=675,\quad b=720\times\frac{16}{15}=768\)

验证：\(675<720<768\)，三项均为整数，\(675,\,720,\,768\) 构成合法等比数列。

步骤 6：计算最小 b 的各位数字之和

\(7+6+8=21\)

最终答案：\(\boldsymbol{21}\)

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三、解题核心总结

本题的关键突破点是打破 “公比为整数” 的思维误区，核心逻辑为：

整数项等比数列公比可表示为最简分数 → 互质的分子分母拆分中间项的质因数 → 找到最接近 1 的比值，得到最小的后项 b。