There are exactly K positive integers b with \(5 \leq b \leq 2024\) such that the base-b integer \(2024_b\) is divisible by 16 (where 16 is in base ten). What is the sum of the digits of K?

存在恰好 K 个正整数 b，满足：

1. 底数范围：\(\boldsymbol{5 \le b \le 2024}\)
2. \(2024_b\) 是 b 进制数，这个数在十进制下能被 16 整除求：K 的各位数字之和是多少？

关键知识点：把 b 进制数 \(2024_b\) 转十进制

进制展开规则：

\(2024_b = 2\cdot b^3 + 0\cdot b^2 + 2\cdot b + 4\)

题目要求：

\(2b^3 + 2b + 4 \;\equiv\; 0 \pmod{16}\)

且进制限制：

b 进制里出现数字「4」，所以必须满足 \(\boldsymbol{b>4}\)，题目已经给了 \(b\ge5\)，刚好符合。

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第一步：化简同余式

\(2b^3 + 2b + 4 \equiv 0 \pmod{16}\)

两边同除以 2：

\(b^3 + b + 2 \equiv 0 \pmod{8}\)

即：

\(\boldsymbol{b^3 + b \equiv -2 \equiv 6 \pmod{8}}\)

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第二步：枚举 \(b=1,2,\dots,8\) 找模 8 余数规律

\(\begin{align*} b\equiv1\pmod8&\Rightarrow 2\\ b\equiv2\pmod8&\Rightarrow 2\\ b\equiv3\pmod8&\Rightarrow 6 \quad \boldsymbol{\text{符合}}\\ b\equiv4\pmod8&\Rightarrow 4\\ b\equiv5\pmod8&\Rightarrow 2\\ b\equiv6\pmod8&\Rightarrow 6 \quad \boldsymbol{\text{符合}}\\ b\equiv7\pmod8&\Rightarrow 6 \quad \boldsymbol{\text{符合}}\\ b\equiv0\pmod8&\Rightarrow 0 \end{align*}\)

满足 \(b^3+b\equiv 6\pmod8\) 的是：

\(\boldsymbol{b\equiv 3,\;6,\;7 \pmod 8}\)

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第三步：求区间 \(5\le b\le 2024\) 内符合条件的 b 个数 K

先看：从 5 到 2024，求模 8 余 3、6、7 的整数个数。

先算 \(1\sim 2024\) 里三类数各多少个，再扣掉 \(1\sim4\) 里多余的。

\(2024 = 8\times 253\)，所以 \(1\sim2024\) 每 8 个数一循环，共 253 个完整周期。

每个周期里：余 3、余 6、余 7 各 1 个

所以 \(1\sim2024\) 中：

三类总数 \(= 253 \times 3 = 759\)

现在去掉 \(b<5\) 里满足条件的：

\(b=1,2,3,4\) 中，只有 \(b=3\equiv3\pmod8\) 符合，要剔除这 1 个。

\(K = 759 – 1 = 758\)

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第四步：求 \(K=758\) 的数字和

\(7+5+8 = 20\)