裂项降次求和 练习

$1^3+2^3+\cdots +n^3={\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2=(1+2+\cdots +n{)}^2$

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利用四次方差公式 $(n+1{)}^4-n^4$(n+1)4−n4 来构造等式，通过累加消去中间项，从而解出立方和。

以下是完整的推导步骤详解：

第一步：准备恒等式

利用二项式定理展开 $(k+1{)}^4$(k+1)4： $(k+1{)}^4=k^4+4k^3+6k^2+4k+1$(k+1)4=k4+4k3+6k2+4k+1 移项得到核心恒等式： $(k+1{)}^4-k^4=4k^3+6k^2+4k+1$(k+1)4−k4=4k3+6k2+4k+1

第二步：列出各项并累加（图片中间部分）

我们要对 $k$k 从 $1$1 到 $n$n 进行累加。图片中列出了从 $n$n 到 $1$1 的式子：

• 当 $k=n$k=n 时：$(n+1{)}^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1$(n+1)4−n4=4n3+6n2+4n+1
• 当 $k=n-1$k=n−1 时：$n^4-(n-1{)}^4=4(n-1{)}^3+6(n-1{)}^2+4(n-1)+1$n4−(n−1)4=4(n−1)3+6(n−1)2+4(n−1)+1
• …
• 当 $k=1$k=1 时：$2^4-1^4=4\cdot 1^3+6\cdot 1^2+4\cdot 1+1$24−14=4⋅13+6⋅12+4⋅1+1

第三步：左右两边分别求和

1. 左边相加（裂项相消）： 这是一个“望远镜求和”，中间的所有项（$n^4,(n-1{)}^4,\dots ,2^4$n4,(n−1)4,…,24）都会正负抵消，只剩下首尾两项： $\text{左边}=(n+1{)}^4-1^4$左边=(n+1)4−14

2. 右边相加： 我们将同类项合并。设我们要通过求的立方和为 $S_3=1^3+2^3+\cdots +n^3$S3​=13+23+⋯+n3。 $\text{右边}=4(1^3+\cdots +n^3)+6(1^2+\cdots +n^2)+4(1+\cdots +n)+\underset{n\text{个}}{\underbrace{(1+\cdots +1)}}$右边=4(13+⋯+n3)+6(12+⋯+n2)+4(1+⋯+n)+n个(1+⋯+1)​​ $\text{右边}=4S_3+6{\sum }_{k=1}^n{k}^2+4{\sum }_{k=1}^{n}k+n$右边=4S3​+6∑k=1n​k2+4∑k=1n​k+n

第四步：建立方程并求解

让左边等于右边： $(n+1{)}^4-1=4S_3+6{\sum }_{k=1}^n{k}^2+4{\sum }_{k=1}^{n}k+n$(n+1)4−1=4S3​+6∑k=1n​k2+4∑k=1n​k+n

这里我们需要用到两个已知的求和公式：

• 平方和公式：$\sum k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$∑k2=6n(n+1)(2n+1)​
• 一次方和公式：$\sum k=\frac{n(n+1)}{2}$∑k=2n(n+1)​

代入方程： $(n+1{)}^4-1=4S_3+6\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+4\cdot \frac{n(n+1)}{2}+n$(n+1)4−1=4S3​+6⋅6n(n+1)(2n+1)​+4⋅2n(n+1)​+n

第五步：化简（这是最关键的一步）

首先展开左边的 $(n+1{)}^4-1$(n+1)4−1： $(n^4+4n^3+6n^2+4n+1)-1=n^4+4n^3+6n^2+4n$(n4+4n3+6n2+4n+1)−1=n4+4n3+6n2+4n

整理右边的已知项：

• $6\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=n(n+1)(2n+1)=2n^3+3n^2+n$6⋅6n(n+1)(2n+1)​=n(n+1)(2n+1)=2n3+3n2+n
• $4\cdot \frac{n(n+1)}{2}=2n(n+1)=2n^2+2n$4⋅2n(n+1)​=2n(n+1)=2n2+2n
• 最后一项是 $n$n

现在方程变成了： $n^4+4n^3+6n^2+4n=4S_3+(2n^3+3n^2+n)+(2n^2+2n)+n$n4+4n3+6n2+4n=4S3​+(2n3+3n2+n)+(2n2+2n)+n

合并右边的同类项： $n^4+4n^3+6n^2+4n=4S_3+2n^3+5n^2+4n$n4+4n3+6n2+4n=4S3​+2n3+5n2+4n

移项解出 $4S_3$4S3​： $4S_3=(n^4+4n^3+6n^2+4n)-(2n^3+5n^2+4n)$4S3​=(n4+4n3+6n2+4n)−(2n3+5n2+4n) $4S_3=n^4+2n^3+n^2$4S3​=n4+2n3+n2

提取公因式 $n^2$n2： $4S_3=n^2(n^2+2n+1)$4S3​=n2(n2+2n+1) $4S_3=n^2(n+1{)}^2$4S3​=n2(n+1)2

最后除以 4： $S_3=\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}={\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]}^2$S3​=4n2(n+1)2​=[2n(n+1)​]2

结论

这就是图片右上角写的结论： $1^3+2^3+\cdots +n^3={\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2=(1+2+\cdots +n{)}^2$13+23+⋯+n3=(2n(n+1)​)2=(1+2+⋯+n)2 立方和等于和的平方。