反函数

作者：

radmin

在

Chase

一、核心本质

两个函数之间：若 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 的图像关于 $y = x$ 对称，则 $g (x) = f^{- 1} (x)$ （互为反函数）。
单个函数自身：若 $y = f (x)$ 的图像自身关于 $y = x$ 对称，则 $f (x) = f^{- 1} (x)$ ，即函数是自身的反函数（数学上称为对合函数，满足 $f (f (x)) = x$ ）。自逆函数（对合函数 involution）

二、几何性质

点对称性：图像上任意一点 $P (a, b)$ ，其关于 $y = x$ 的对称点 $P^{'} (b, a)$ 必在同一图像上（或另一对称图像上）。
对称轴：直线 $y = x$ 是图像的对称轴，图像沿该直线折叠可完全重合。
与直线 y=x 的交点：若图像与 $y = x$ 相交，交点坐标必满足 $f (x) = x$ 。

三、代数性质

解析式转换：将原函数 $y = f (x)$ 中的 $x$ 与 $y$ 互换，解出 $y$ 即得对称函数的解析式（即反函数）。
自反条件：自身关于 $y = x$ 对称 $⟺ f (f (x)) = x$ （在定义域内恒成立）。
分式线性函数特例：形如 $f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}$ 的函数自身关于 $y = x$ 对称的充要条件是 $a = - d$ （且 $a d - b c \neq 0$ ）。

四、定义域与值域

若 $f$ f 与 $f^{- 1}$ f−1 图像关于 $y = x$ 对称，则：

$D_{f} = R_{f^{- 1}}, R_{f} = D_{f^{- 1}}$

若自身对称，则必有：

$D_{f} = R_{f}$

（定义域与值域必须完全一致，否则对称点会落在定义域外）

五、单调性与交点性质（⚠️ 高频考点）

单调性一致：若 $f (x)$ 在区间 $I$ 上严格单调，则其反函数 $f^{- 1} (x)$ 在对应区间上单调性完全相同。
交点位置定理：
- 若 $f (x)$ f(x) 严格单调递增，则方程 $f (x) = f^{- 1} (x)$ 与 $f (x) = x$ 同解，即两图像交点必在直线 $y = x$ 上。
- 若 $f (x)$ f(x) 单调递减，交点不一定在 $y = x$ 上（例如 $f (x) = \frac{1}{x}$ 自身对称，交点 $(1, 1), (- 1, - 1)$ 恰好在 $y = x$ 上；但某些分段或复合递减函数可能产生不在 $y = x$ 上的交点）。

类型	示例	说明
互为反函数	$y = e^{x}$ 与 $y = \ln x$	经典指数-对数对称
	$y = x^{3}$ 与 $y = \sqrt[3]{x}$	幂函数与反幂函数
	$y = \sin x (x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}])$ 与 $y = \arcsin x$	三角与反三角
自身对称	$y = \frac{1}{x} (x \neq 0)$	双曲线，关于 $y = x$ 和 $y = - x$ 均对称
	$y = a - x$ （如 $y = - x$ ）	斜率为 $- 1$ 的直线
	$y = \sqrt{1 - x^{2}} (x \in [0, 1])$	单位圆在第一象限的弧（需注意定义域限制）

Q1 2020 AMC 8 Problems/Problem 22
When a positive integer $N$ is fed into a machine, the output is a number calculated according to the rule shown below.

$[asy] size(300); defaultpen(linewidth(0.8)+fontsize(13)); real r = 0.05; draw((0.9,0)--(3.5,0),EndArrow(size=7)); filldraw((4,2.5)--(7,2.5)--(7,-2.5)--(4,-2.5)--cycle,gray(0.65)); fill(circle((5.5,1.25),0.8),white); fill(circle((5.5,1.25),0.5),gray(0.65)); fill((4.3,-r)--(6.7,-r)--(6.7,-1-r)--(4.3,-1-r)--cycle,white); fill((4.3,-1.25+r)--(6.7,-1.25+r)--(6.7,-2.25+r)--(4.3,-2.25+r)--cycle,white); fill((4.6,-0.25-r)--(6.4,-0.25-r)--(6.4,-0.75-r)--(4.6,-0.75-r)--cycle,gray(0.65)); fill((4.6,-1.5+r)--(6.4,-1.5+r)--(6.4,-2+r)--(4.6,-2+r)--cycle,gray(0.65)); label("$N$",(0.45,0)); draw((7.5,1.25)--(11.25,1.25),EndArrow(size=7)); draw((7.5,-1.25)--(11.25,-1.25),EndArrow(size=7)); label("if $N$ is even",(9.25,1.25),N); label("if $N$ is odd",(9.25,-1.25),N); label("$\frac N2$",(12,1.25)); label("$3N+1$",(12.6,-1.25)); [/asy]$ For example, starting with an input of $N=7,$ the machine will output $3 \cdot 7 +1 = 22.$ Then if the output is repeatedly inserted into the machine five more times, the final output is $26.$ $7 \to 22 \to 11 \to 34 \to 17 \to 52 \to 26$ When the same $6$ -step process is applied to a different starting value of $N,$ the final output is $1.$ What is the sum of all such integers $N?$ $N \to \rule{0.5cm}{0.15mm} \to \rule{0.5cm}{0.15mm} \to \rule{0.5cm}{0.15mm} \to \rule{0.5cm}{0.15mm} \to \rule{0.5cm}{0.15mm} \to 1$ $\textbf{(A) }73 \qquad \textbf{(B) }74 \qquad \textbf{(C) }75 \qquad \textbf{(D) }82 \qquad \textbf{(E) }83$

Q11 2024 AMC 12A Problems/Problem 25

A graph is $\textit{symmetric}$ about a line if the graph remains unchanged after reflection in that line. For how many quadruples of integers $(a,b,c,d)$ , where $|a|,|b|,|c|,|d|\le5$ and $c$ and $d$ are not both $0$ , is the graph of $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ symmetric about the line $y=x$ ?