Regular polyhedron正多面体[C Done]

正多面体也叫柏拉图立体，数学上可以严格证明：凸正多面体仅有且仅有 5 种

名称	面数 F	顶点数 V	棱数 E	每个顶点度数（连几条棱）	每个顶点交汇面数
正四面体	4	4	6	3	3
正六面体 (正方体)	6	8	12	3	3
正八面体	8	6	12	4	4
正十二面体	12	20	30	3	3
正二十面体	20	12	30	5	5

所有正多面体皆可以使用施莱夫利符号来表示，其可以计为${\displaystyle \{n,m\}}$。其中${\displaystyle n}$表示构成面的顶点数，${\displaystyle m}$则表示与顶点相邻的多边形数量。在中文语境中，一般被大众认知的正多面体通常代表只有五种的凸正多面体，又称为帕雷托立体，其包括了正四面体、立方体、正八面体、正十二面体和正二十面体。

正四面体 ${\displaystyle \{3,3\}}$	立方体${\displaystyle \{4,3\}}$	正八面体${\displaystyle \{3,4\}}$	正十二面体${\displaystyle \{5,3\}}$	正二十面体 ${\displaystyle \{3,5\}}$
${\displaystyle \chi =2}$	${\displaystyle \chi =2}$	${\displaystyle \chi =2}$	${\displaystyle \chi =2}$	${\displaystyle \chi =2}$

Tetrahedron {3, 3}	Cube {4, 3}	Octahedron {3, 4}	Dodecahedron {5, 3}	Icosahedron {3, 5}
χ = 2	χ = 2	χ = 2	χ = 2	χ = 2

性质 1：等面四面体等价条件（最基础、最核心）

一个四面体四个面全部全等 \(\iff\) 它的三组对棱分别相等。

设三组对棱长度为 \(x,y,z\)：

\(AB=CD=x,\quad AC=BD=y,\quad AD=BC=z\)

此时四面体的任意一个面（比如 \(\triangle ABC\)）的三条边长恰好就是 \(x,y,z\)。

换句话说：这个四面体所有面，都是边长为 \(x,y,z\) 的同一个三角形。

性质 2：长方体嵌入定理

所有等面四面体都可以内嵌在一个长方体中：

设长方体长宽高为正整数 \(p,q,r\)，则三组对棱满足方程组：

\(\begin{cases} x^2 = q^2 + r^2 \\ y^2 = p^2 + r^2 \\ z^2 = p^2 + q^2 \end{cases}\)

核心推论：

不是随便一组整数三角形 \((x,y,z)\) 都能当作等面四面体的面，必须存在正整数 \(p,q,r\) 满足上面三个勾股方程。

2024 AMC 12A Problems/Problem 24


A  is a tetrahedron whose triangular faces are congruent to one another. What is the least total surface area of a disphenoid whose faces are scalene triangles with integer side lengths?