求数列通项公式 [C待更正]

Let the positive sequence $\{a_n\}$satisfy the condition: $\sqrt{a_n{a}_{n-2}}-\sqrt{a_{n-1}{a}_{n-2}}=2a_{n-1}(n\ge 2)$Given that $a_0=a_1=1$, find the general term formula for this sequence.

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解题步骤

第一步：变形递推公式 将原方程 $\sqrt{a_n{a}_{n-2}}-\sqrt{a_{n-1}{a}_{n-2}}=2a_{n-1}$an​an−2​​−an−1​an−2​​=2an−1​ 的左右两侧同时除以 $\sqrt{a_{n-1}{a}_{n-2}}$an−1​an−2​​：

$\frac{\sqrt{a_n{a}_{n-2}}}{\sqrt{a_{n-1}{a}_{n-2}}}-\frac{\sqrt{a_{n-1}{a}_{n-2}}}{\sqrt{a_{n-1}{a}_{n-2}}}=\frac{2a_{n-1}}{\sqrt{a_{n-1}{a}_{n-2}}}$an−1​an−2​​an​an−2​​​−an−1​an−2​​an−1​an−2​​​=an−1​an−2​​2an−1​​

化简得到： $\sqrt{\frac{a_n}{a_{n-1}}}-1=2\sqrt{\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}}$an−1​an​​​−1=2an−2​an−1​​​

第二步：换元构造新数列 令 $b_n=\sqrt{\frac{a_n}{a_{n-1}}}$bn​=an−1​an​​​，则上述方程可以写为： $b_n-1=2b_{n-1}$bn​−1=2bn−1​ 即： $b_n=2b_{n-1}+1$bn​=2bn−1​+1

第三步：求解数列 {bn}{bn​} 的通项 对递推式 $b_n=2b_{n-1}+1$bn​=2bn−1​+1 两边同时加 1： $b_n+1=2b_{n-1}+2=2(b_{n-1}+1)$bn​+1=2bn−1​+2=2(bn−1​+1)

这说明数列 $\{b_n+1\}${bn​+1} 是一个公比为 2 的等比数列。 我们需要计算首项 $b_1$b1​： $b_1=\sqrt{\frac{a_1}{a_0}}=\sqrt{\frac{1}{1}}=1$b1​=a0​a1​​​=11​​=1

所以： $b_n+1=(b_1+1)\cdot 2^{n-1}=(1+1)\cdot 2^{n-1}=2\cdot 2^{n-1}=2^n$bn​+1=(b1​+1)⋅2n−1=(1+1)⋅2n−1=2⋅2n−1=2n 从而得到 $b_n$bn​ 的通项公式： $b_n=2^n-1$bn​=2n−1

第四步：还原求 {an}{an​} 的通项 根据 $b_n$bn​ 的定义： $\sqrt{\frac{a_n}{a_{n-1}}}=b_n=2^n-1$an−1​an​​​=bn​=2n−1 两边平方得： $\frac{a_n}{a_{n-1}}=(2^n-1{)}^2$an−1​an​​=(2n−1)2

利用累乘法求 $a_n$an​： $a_n=a_0\cdot \frac{a_1}{a_0}\cdot \frac{a_2}{a_1}\cdots \frac{a_n}{a_{n-1}}$an​=a0​⋅a0​a1​​⋅a1​a2​​⋯an−1​an​​ $a_n=1\cdot b_1^2\cdot b_2^2\cdots b_n^2$an​=1⋅b12​⋅b22​⋯bn2​ $a_n={\prod }_{k=1}^n{b}_k^2$an​=∏k=1n​bk2​

代入 $b_k=2^k-1$bk​=2k−1，得到最终结果： $a_n={\prod }_{k=1}^n(2^k-1{)}^2$an​=∏k=1n​(2k−1)2

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最终答案

$a_n={\prod }_{k=1}^n(2^k-1{)}^2$an​=∏k=1n​(2k−1)2 (或者写作 $a_n=[(2^1-1)(2^2-1)\cdots (2^n-1){]}^2$an​=[(21−1)(22−1)⋯(2n−1)]2)

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要解决给定的数列递推问题，我们通过构造辅助数列和累乘法来推导通项，步骤如下：

步骤1：化简原递推方程

已知递推关系：an​an−2​​−an−1​an​​=2an−1​（n≥1，默认an​>0，否则根式无意义）。

为消去根号下的公共因子，两边同除以an−1​an−2​​，利用根式除法法则y​x​​=yx​​（x,y>0），化简得：

an−1​an−2​​an​an−2​​​−an−1​an−2​​an−1​an−2​​​=an−1​an−2​​2an−1​​

即：

an−1​an​​​−1=2an−2​an−1​​​

步骤2：构造辅助数列bn​

观察到方程中反复出现an−1​an​​​，定义新数列：

bn​=an−1​an​​​(n≥1)

则bn−1​=an−2​an−1​​​（n≥2）。将其代入步骤1化简后的式子，得：

bn​−1=2bn−1​

即bn​=2bn−1​+1（这是一阶线性非齐次递推关系）。

步骤3：转化为等比数列

为将线性非齐次递推转化为等比数列，令cn​=bn​+1（构造“常数分离”形式），则bn​=cn​−1。代入bn​=2bn−1​+1：

cn​−1=2(cn−1​−1)+1

展开并整理右边：

cn​−1=2cn−1​−2+1⟹cn​=2cn−1​

这说明{cn​}是公比为2的等比数列。

步骤4：求辅助数列cn​的通项

等比数列的通项由首项决定。假设初始条件（如题目隐含a0​=1，则b1​=a0​a1​​​=1a1​​​=1），因此首项：

c1​=b1​+1=1+1=2

等比数列{cn​}的通项为：

cn​=c1​⋅2n−1=2⋅2n−1=2n

步骤5：回代求原数列an​的通项

由bn​=cn​−1，得：

bn​=2n−1

又因bn​=an−1​an​​​，两边平方得：

an−1​an​​=(2n−1)2

利用累乘法求an​：

an​=a0​⋅a0​a1​​⋅a1​a2​​⋅…⋅an−1​an​​

每一项ak−1​ak​​=(2k−1)2（k=1,2,…,n），且若a0​=1（结合初始条件b1​=1），则：

an​=1⋅(21−1)2⋅(22−1)2⋅…⋅(2n−1)2=k=1∏n​(2k−1)2

最终结论

数列{an​}的通项公式为：

an​=k=1∏n​(2k−1)2

（若初始条件a0​=1，展开后为(21−1)2(22−1)2⋯(2n−1)2。）

下面的解答有bug，以后需要重做，用待定系数法求通项公式，图片中极限的方法是不对的，正无穷不能等于正无穷

数列 $b_n=2^n-1$ 是随着 $n$ 增大趋向于无穷大的（发散），它并没有一个有限的极限 $L$。

规范写法（待定系数法 / 不动点法）

对于递推式： $b_n=2b_{n-1}+1$

目标：构造等比数列。设存在常数 $\lambda$，使得： $b_n+\lambda =2(b_{n-1}+\lambda )$展开得：$b_n=2b_{n-1}+\lambda$

与原式对比，可得 $\lambda =1$。

因此，我们有： $b_n+1=2(b_{n-1}+1)$

令 $C_n=b_n+1$，则 $\{C_n\}$ 是公比为 $2$ 的等比数列。

由已知 $a_0=a_1=1$，得 $b_1=\sqrt{\frac{a_1}{a_0}}=1$，故首项： $C_1=b_1+1=2$

所以： $C_n=C_1\cdot 2^{n-1}=2\cdot 2^{n-1}=2^n$

回代得： $b_n=2^n-1$

${}_{}$