数列求通项公式

Let the sequence $\{a_n\}$ satisfy $a_{n+1}^p=q{a}_n^r$​, where $p,q,r$are given positive real numbers. Find the general term formula for $a_n$.

设数列 $\{a_n\}$满足：$a_{n+1}^p=q{a}_n^r$，其中 $p,q,r$为给定的正实数，求 $a_n$​ 的通项公式。

求解过程

第一步：两边取对数，线性化递推关系 对原式 $a_{n+1}^p=q{a}_n^r$an+1p​=qanr​ 两边同时取自然对数（$\ln$ln）： $p\ln a_{n+1}=\ln q+r\ln a_n$plnan+1​=lnq+rlnan​

第二步：换元 设 $b_n=\ln a_n$bn​=lnan​，则上述方程变为关于 $b_n$bn​ 的线性递推式： $p{b}_{n+1}=r{b}_n+\ln q$pbn+1​=rbn​+lnq 整理得： $b_{n+1}=\frac{r}{p}{b}_n+\frac{\ln q}{p}$bn+1​=pr​bn​+plnq​

第三步：分类讨论求解 根据系数 $\frac{r}{p}$pr​ 是否为 1（即 $p$p 是否等于 $r$r），分两种情况讨论。

情况 1：当 p=rp=r 时

此时递推式变为： $p{b}_{n+1}=p{b}_n+\ln q⟹b_{n+1}=b_n+\frac{\ln q}{p}$pbn+1​=pbn​+lnq⟹bn+1​=bn​+plnq​ 这说明数列 $\{b_n\}${bn​} 是一个等差数列，公差 $d=\frac{\ln q}{p}$d=plnq​。 通项公式为： $b_n=b_1+(n-1)d=\ln a_1+(n-1)\frac{\ln q}{p}$bn​=b1​+(n−1)d=lna1​+(n−1)plnq​ 还原回 $a_n$an​： $\ln a_n=\ln a_1+\ln \left(q^{\frac{n-1}{p}}\right)=\ln (a_1\cdot q^{\frac{n-1}{p}})$lnan​=lna1​+ln(qpn−1​)=ln(a1​⋅qpn−1​) $\therefore a_n=a_1\cdot q^{\frac{n-1}{p}}$∴an​=a1​⋅qpn−1​

注意： 图片中在 $1^{\circ }$1∘ 部分似乎漏掉了分母 $p$p，写成了 $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$an​=a1​⋅qn−1。这是不严谨的，除非题目隐含 $p=1$p=1。正确的推导应包含 $\frac{1}{p}$p1​。

情况 2：当 p≠rp=r 时

这是一个形如 $b_{n+1}=A{b}_n+B$bn+1​=Abn​+B 的递推数列，可以使用不动点法（构造等比数列）求解。 设不动点为 $\lambda$λ，满足 $\lambda =\frac{r}{p}\lambda +\frac{\ln q}{p}$λ=pr​λ+plnq​。 或者如图片所示，构造形式： $p(b_{n+1}-\lambda )=r(b_n-\lambda )$p(bn+1​−λ)=r(bn​−λ) 展开得：$p{b}_{n+1}-p\lambda =r{b}_n-r\lambda ⟹p{b}_{n+1}=r{b}_n+(p-r)\lambda$pbn+1​−pλ=rbn​−rλ⟹pbn+1​=rbn​+(p−r)λ。 对比原式 $p{b}_{n+1}=r{b}_n+\ln q$pbn+1​=rbn​+lnq，可得： $(p-r)\lambda =\ln q⟹\lambda =\frac{\ln q}{p-r}$(p−r)λ=lnq⟹λ=p−rlnq​

因此，数列 $\{b_n-\lambda \}${bn​−λ} 是一个公比为 $\frac{r}{p}$pr​ 的等比数列： $b_{n+1}-\frac{\ln q}{p-r}=\frac{r}{p}(b_n-\frac{\ln q}{p-r})$bn+1​−p−rlnq​=pr​(bn​−p−rlnq​) 通项公式为： $b_n-\frac{\ln q}{p-r}=(b_1-\frac{\ln q}{p-r})\cdot {\left(\frac{r}{p}\right)}^{n-1}$bn​−p−rlnq​=(b1​−p−rlnq​)⋅(pr​)n−1 $b_n=(\ln a_1-\frac{\ln q}{p-r}){\left(\frac{r}{p}\right)}^{n-1}+\frac{\ln q}{p-r}$bn​=(lna1​−p−rlnq​)(pr​)n−1+p−rlnq​

最后还原回 $a_n$an​（即 $a_n=e^{b_n}$an​=ebn​）： $a_n=\exp [(\ln a_1-\frac{\ln q}{p-r}){\left(\frac{r}{p}\right)}^{n-1}+\frac{\ln q}{p-r}]$an​=exp[(lna1​−p−rlnq​)(pr​)n−1+p−rlnq​]

也可以写成更紧凑的形式： $a_n=q^{\frac{1}{p-r}}\cdot {\left(\frac{a_1}{q^{\frac{1}{p-r}}}\right)}^{{\left(\frac{r}{p}\right)}^{n-1}}$an​=qp−r1​⋅(qp−r1​a1​​)(pr​)n−1

---

最终结论

1. 当 p=rp=r 时： $a_n=a_1\cdot q^{\frac{n-1}{p}}$an​=a1​⋅qpn−1​
2. 当 p≠rp=r 时： $a_n=\exp \{(\ln a_1-\frac{\ln q}{p-r}){\left(\frac{r}{p}\right)}^{n-1}+\frac{\ln q}{p-r}\}$an​=exp{(lna1​−p−rlnq​)(pr​)n−1+p−rlnq​}