数列证明题4

Let the sequence $\{a_n\}$be an arithmetic sequence, and the sequence $\{b_n\}$ be a geometric sequence, such that $b_1=a_1^2,b_2=a_2^2,b_3=a_3^2(a_1<a_2)$ , and: ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}(b_1+b_2+\cdots +b_n)=\sqrt{2}+1$ . Find the first term and the common difference $d$ of $\{a_n\}$.

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简明解题过程：

1. 建立关系：
   设等差数列 $\{a_n\}${an​} 的首项为 $a_1$a1​ ，公差为 $d$d 。因为 $a_1<a_2$a1​<a2​ ，所以 $d>0$d>0 。
   由 $b_n$bn​ 是等比数列，且 $b_n=a_n^2$bn​=an2​ ，得：

$$a_2^4=a_1^2\cdot a_3^2⟹a_2^2=a_1{a}_3$$a24​=a12​⋅a32​⟹a22​=a1​a3​

2. 求解公比 qq ：
   由 $2a_1^2+4a_{1}d+d^2=0$2a12​+4a1​d+d2=0 ，解得 $d=(-2\pm \sqrt{2})a_1$d=(−2±2​)a1​ 。
   因为 $d>0$d>0 ，所以 $a_1<0$a1​<0 。
   公比 $q=\frac{b_2}{b_1}={\left(\frac{a_2}{a_1}\right)}^2={\left(\frac{a_1+d}{a_1}\right)}^2=(1+\frac{d}{a_1}{)}^2$q=b1​b2​​=(a1​a2​​)2=(a1​a1​+d​)2=(1+a1​d​)2 。
   若 $d=(-2-\sqrt{2})a_1$d=(−2−2​)a1​ ，则 $\frac{d}{a_1}=-2-\sqrt{2}$a1​d​=−2−2​ ， $q=(-1-\sqrt{2}{)}^2=3+2\sqrt{2}>1$q=(−1−2​)2=3+22​>1 ，舍去。
   若 $d=(-2+\sqrt{2})a_1$d=(−2+2​)a1​ ，则 $\frac{d}{a_1}=-2+\sqrt{2}$a1​d​=−2+2​ ， $q=(-1+\sqrt{2}{)}^2=3-2\sqrt{2}\in (0,1)$q=(−1+2​)2=3−22​∈(0,1) ，符合题意。
3. 利用极限求 a1a1​ 和 dd ：
   等比数列求和极限公式： ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{S}_n=\frac{b_1}{1-q}=\frac{a_1^2}{1-(3-2\sqrt{2})}=\frac{a_1^2}{2\sqrt{2}-2}$limn→∞​Sn​=1−qb1​​=1−(3−22​)a12​​=22​−2a12​​ 。
   由题意， $\frac{a_1^2}{2\sqrt{2}-2}=\sqrt{2}+1$22​−2a12​​=2​+1 。
   解得 $a_1^2=(2\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}+1)=2$a12​=(22​−2)(2​+1)=2 。
   因为 $a_1<0$a1​<0 ，所以 $a_1=-\sqrt{2}$a1​=−2​ 。
   代入 $d=(-2+\sqrt{2})a_1$d=(−2+2​)a1​ ，得 $d=(-2+\sqrt{2})(-\sqrt{2})=2\sqrt{2}-2$d=(−2+2​)(−2​)=22​−2 。

结果：
首项 $a_1=-\sqrt{2}$a1​=−2​ ，公差 $d=2\sqrt{2}-2$d=22​−2 。