一、基础对称变换（本题直接用到）

1. 余角配对（灵魂）

\(\tan\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cot\theta,\quad \boldsymbol{\tan^2\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\frac{1}{\tan^2\theta}}\)

本题：

\(\tan^2\frac{5\pi}{16}=\frac{1}{\tan^2\frac{3\pi}{16}},\quad \tan^2\frac{7\pi}{16}=\frac{1}{\tan^2\frac{\pi}{16}}\)

2. 补角、奇偶

\(\sin(\pi-\theta)=\sin\theta,\ \cos(\pi-\theta)=-\cos\theta,\ \tan(\pi-\theta)=-\tan\theta\)

\(\tan\left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)\tan\left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)=1\)

二、和差・倍角・半角（所有竞赛三角题的底层）

1. 和差公式

\(\begin{align*} \tan(A\pm B)&=\frac{\tan A\pm\tan B}{1\mp\tan A\tan B}\\ \sin(A\pm B)&=\sin A\cos B\pm\cos A\sin B\\ \cos(A\pm B)&=\cos A\cos B\mp\sin A\sin B \end{align*}\)

2. 倍角公式（高频）

\(\tan2\theta=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta},\quad \boldsymbol{\tan^2\theta=\frac{1-\cos2\theta}{1+\cos2\theta}}\)

\(\cos2\theta=2\cos^2\theta-1=1-2\sin^2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta\)

3. 三倍角（竞赛常用）

\(\tan3\theta=\frac{3\tan\theta-\tan^3\theta}{1-3\tan^2\theta}\)

4. 降幂公式（本题用在构造方程）

\(\sin^2\theta=\frac{1-\cos2\theta}{2},\quad \cos^2\theta=\frac{1+\cos2\theta}{2}\)

三、竞赛最强大招：正切 n 倍角 + 韦达定理（本题核心）

这是 AIME / 联赛 三角压轴题最常考套路：

1. 设 \(t=\tan\theta\)，把 \(\tan n\theta\) 写成分式：\(\tan n\theta=\frac{P_n(t)}{Q_n(t)}\)
2. 若 \(n\theta=\frac{\pi}{2}+k\pi\)，则 \(\tan n\theta\) 无意义 \(\Rightarrow Q_n(t)=0\)
3. 得到关于 \(t=\tan\theta\) 的多项式，用韦达定理直接求 \(\tan^2\theta\) 的和、积、两两乘积

本题：

\(8\theta=\frac{\pi}{2}\Rightarrow \theta=\frac{k\pi}{16}\)，构造出方程

\(t^4-28t^3+70t^2-28t+1=0\)

根为 \(t=\tan^2\frac{\pi}{16},\tan^2\frac{3\pi}{16},\tan^2\frac{5\pi}{16},\tan^2\frac{7\pi}{16}\)

韦达直接读出：所有两两乘积和 = \(\boldsymbol{70}\)

四、万能代换（把三角全部变代数）

\(t=\tan\frac{\theta}{2},\quad \sin\theta=\frac{2t}{1+t^2},\ \cos\theta=\frac{1-t^2}{1+t^2},\ \tan\theta=\frac{2t}{1-t^2}\)

用途：解方程、求最值、化简复杂三角式。

五、和差化积 & 积化和差（国内联赛高频）

和差化积

\(\begin{align*} \sin A+\sin B&=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\\ \cos A+\cos B&=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} \end{align*}\)

积化和差

\(\sin A\sin B=\frac12[\cos(A-B)-\cos(A+B)]\)