[R]待定系数法求通项公式 Sequence Recurrence – Translation Correction Constant

一阶线性递推 \(\boldsymbol{a_{n+1}=pa_n+q}\ \boldsymbol{(p≠1)}\)

1. 推导 \(\boldsymbol{\lambda}\)

我们目标：凑成等比数列形式

\(\boldsymbol{a_{n+1}-\lambda=p(a_n-\lambda)}\)

展开右边：

\(a_{n+1}-\lambda=pa_n-p\lambda\)

整理：

\(a_{n+1}=pa_n+\lambda(1-p)\)

和原式 \(a_{n+1}=pa_n+q\) 对比，常数项相等：

\(\lambda(1-p)=q\)

直接解出：

\(\boldsymbol{\lambda=\frac{q}{1-p}}\)

2. 通用步骤

1. 算出 \(\boldsymbol{\lambda=\dfrac{q}{1-p}}\)
2. 数列 \(\boldsymbol{\{a_n-\lambda\}}\) 是公比为 p 的等比数列
3. 写等比通项：\(\boldsymbol{a_n-\lambda=(a_1-\lambda)\cdot p^{n-1}}\)
4. 整理得到 \(a_n\)

3. 例题

已知 \(a_1=1,\ a_{n+1}=2a_n+3\)，求 \(a_n\)

1. 求 \(\lambda\)：\(\lambda=\dfrac{3}{1-2}=-3\)
2. 构造：\(a_{n+1}-(-3)=2(a_n-(-3))\implies \boldsymbol{a_{n+1}+3=2(a_n+3)}\)
3. \(\{a_n+3\}\) 首项：\(a_1+3=4\)，公比 2
4. 通项：\(a_n+3=4\cdot2^{n-1}=2^{n+1}\)\(\boldsymbol{a_n=2^{n+1}-3}\)

二、进阶 1：带指数项 \(\boldsymbol{a_{n+1}=pa_n+q\cdot r^n}\)

情况 1：\(\boldsymbol{p≠r}\)（最常考）

推导 \(\boldsymbol{\lambda}\)

设：

\(a_{n+1}-\lambda\cdot r^{n+1}=p(a_n-\lambda\cdot r^n)\)

展开：

\(a_{n+1}=pa_n+\lambda r^{n+1}-p\lambda r^n=pa_n+\lambda(r-p)r^n\)

对比原式，得：

\(\lambda(r-p)=q \implies \boldsymbol{\lambda=\frac{q}{r-p}}\)

例题

\(a_1=1,\ a_{n+1}=2a_n+3^n\)，求 \(a_n\)

1. \(\lambda=\dfrac{3}{3-2}=3\)
2. 构造：\(a_{n+1}-3\cdot3^{n+1}=2(a_n-3\cdot3^n)\implies a_{n+1}-3^{n+2}=2(a_n-3^{n+1})\)
3. \(\{a_n-3^{n+1}\}\) 首项：\(1-9=-8\)，公比 2
4. \(a_n-3^{n+1}=-8\cdot2^{n-1}=-2^{n+2}\)\(\boldsymbol{a_n=3^{n+1}-2^{n+2}}\)

情况 2：\(\boldsymbol{p=r}\)

此时不能凑等比，两边同除以 \(p^{n+1}\)，构造等差数列，不用 \(\lambda\)。

三、进阶 2：二阶线性递推 \(\boldsymbol{a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n}\)（特征根法 = 双 λ 法）

这是高考 / 竞赛高频考点，本质还是 λ 待定系数，设两个 \(\lambda_1,\lambda_2\)。

1. 推导

目标构造：

\(a_{n+2}-\lambda_1 a_{n+1}=\lambda_2(a_{n+1}-\lambda_1 a_n)\)

展开：

\(a_{n+2}=(\lambda_1+\lambda_2)a_{n+1}-\lambda_1\lambda_2 a_n\)

对比原式 \(a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n\)，得方程组：

\(\begin{cases}\lambda_1+\lambda_2=p\\\lambda_1\lambda_2=-q\end{cases}\)

即解特征方程：

\(\boldsymbol{\lambda^2-p\lambda-q=0}\)

2. 分 3 种结果

1. 两个不等实根 \(\lambda_1,\lambda_2\)：\(\boldsymbol{a_n=A\lambda_1^n+B\lambda_2^n}\)
2. 两个相等实根 \(\lambda_0\)：\(\boldsymbol{a_n=(An+B)\lambda_0^n}\)
3. 共轭复根：高中一般不考

3. 例题

\(a_1=1,\ a_2=3,\ a_{n+2}=4a_{n+1}-3a_n\)，求 \(a_n\)

1. 特征方程：\(\lambda^2-4\lambda+3=0\implies \lambda_1=1,\lambda_2=3\)
2. 通项形式：\(a_n=A\cdot1^n+B\cdot3^n=A+B\cdot3^n\)
3. 代入 \(a_1,a_2\)：\(\begin{cases}A+3B=1\\A+9B=3\end{cases}\implies A=0,\ B=\dfrac13\)\(\boldsymbol{a_n=3^{n-1}}\)

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四、进阶 3：带一次函数 \(\boldsymbol{a_{n+1}=pa_n+kn+b}\)

需要两个待定系数 \(\boldsymbol{\lambda,\mu}\)

1. 推导

设：

\(a_{n+1}+\lambda(n+1)+\mu=p(a_n+\lambda n+\mu)\)

展开整理，对比系数，解出 \(\lambda,\mu\)，\(\{a_n+\lambda n+\mu\}\) 为等比数列。

例题

\(a_1=1,\ a_{n+1}=2a_n+2n+1\)

设 \(a_{n+1}+\lambda(n+1)+\mu=2(a_n+\lambda n+\mu)\)

解得 \(\lambda=2,\mu=3\)，构造 \(a_{n+1}+2(n+1)+3=2(a_n+2n+3)\)，后续求通项即可。

Q1

In the sequence \(\{a_n\}\), \(a_1=3\) and \(a_{n+1}=2a_n+1\), then \(a_n=\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}\).

Q2

In the sequence \(\{a_n\}\), \(a_1=1\) and \(a_{n+1}=3a_n+3^{n+1}\), then \(a_n=\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}\).

Q3

In the sequence \(\{a_n\}\), \(a_1=4\) and \(a_{n+1}=3a_n+2n-1\), then \(a_n=\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}\).

Q4

In the sequence \(\{a_n\}\), \(a_1=1\) and \(na_{n+1}=(n+1)a_n\), then \(a_n=\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}\).

Q5

In the sequence \(\{a_n\}\), \(a_1=1\) and \(\boldsymbol{\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{n}{n+1}}\), then \(a_n=\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}\).

Q6

In the sequence \(\{a_n\}\), \(a_1=1\) and \(na_{n+1}=(n+2)a_n+n\), then \(a_n=\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}\).

Q7

In the sequence \(\{a_n\}\), \(a_1=2\) and \(\boldsymbol{a_{n+1}=\dfrac{n}{n+2}a_n}\), then \(a_n=\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}\).

Q8

In the sequence \(\{a_n\}\), \(a_1=1\), \(a_2=3\) and \(a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_n\), then \(a_n=\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}\).

Q9

In the sequence \(\{a_n\}\), \(a_1=2\) and \(a_{n+1}=a_n^2\), then \(a_n=\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}\).

Q10

In the sequence \(\{a_n\}\), \(a_1+2a_2+\dots+na_n=2^n\), then \(a_n=\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}\).

Q11

In the sequence \(\{a_n\}\), \(S_n=2^n-2\), then \(a_n=\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}\).

Q12

In the sequence \(\{a_n\}\), \(a_n + 4S_{n-1}S_n=0\) and \(a_1=\boldsymbol{\dfrac{1}{4}}\), then \(a_n=\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}\).

Q13

In the sequence \(\{a_n\}\), \(a_1=1\) and \(a_{n+1}=a_n+2^n\), then \(a_n=\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}\).

Q1 \(a_n=2^{n+1}-1\)

Q2 an​=3n⋅bn​=n⋅3n−2⋅3n−1

Q3 \(\boldsymbol{a_n=5\cdot3^{n-1}-n}\)

Q4 \(\boldsymbol{a_n=n}\)。

Q5 \(\boldsymbol{a_n=\frac{1}{n}}\)

Q6 \(\boldsymbol{a_n=n^2}\)。

Q7 \(\boldsymbol{a_n=\frac{4}{n(n+1)}}\)

Q8 \(\boldsymbol{a_n=2^n-1}\).

Q9 \(\boldsymbol{a_n=2^{2^{n-1}}}\)

Q10

\(\boldsymbol{a_n= \begin{cases} 2,&n=1\\ \dfrac{2^{n-1}}{n},&n\ge2 \end{cases}}\)

Q11

\(\boldsymbol{a_n= \begin{cases} 0,&n=1\\ 2^{n-1},&n\ge2 \end{cases}}\)

Q12

Thus the piecewise general term is: \(\boldsymbol{a_n= \begin{cases} \dfrac14,&n=1\\ -\dfrac{1}{4n(n-1)},&n\ge2 \end{cases}}\)

Q13
\(\boldsymbol{a_n=2^n-1}\)