数列通项公式General term formula of a sequence[C]

Suppose that  and the sequence  satisfies the recurrence relationfor all  What is the greatest integer less than or equal to

第一步：求通项公式

已知 \(a_1=2\)，递推式：

\(\frac{a_n -1}{n-1}=\frac{a_{n-1}+1}{n}\quad(n\ge2)\)

交叉相乘整理：

\(n(a_n-1)=(n-1)(a_{n-1}+1)\)

\(na_n-n=(n-1)a_{n-1}+n-1\)

\(na_n-(n-1)a_{n-1}=2n-1\)

令 \(b_n=na_n\)，则 \(b_n-b_{n-1}=2n-1\)，且 \(b_1=1\cdot a_1=2\)。

对差分累加：

\(b_n=b_1+\sum_{k=2}^n(2k-1)\)

由平方和公式 \(\sum_{k=1}^n(2k-1)=n^2\)，得

\(\sum_{k=2}^n(2k-1)=n^2-1\)

\(b_n=2+n^2-1=n^2+1\)

因此

\(\boldsymbol{a_n=\frac{n^2+1}{n}=n+\frac1n}\)

第二步：展开 \(a_n^2\)

\(a_n^2=\left(n+\frac1n\right)^2=n^2+2+\frac1{n^2}\)

第三步：求和 \(\boldsymbol{\sum_{n=1}^{100}a_n^2}\)

\(\sum_{n=1}^{100}a_n^2=\sum_{n=1}^{100}n^2+\sum_{n=1}^{100}2+\sum_{n=1}^{100}\frac1{n^2}\)

1. 平方和：\(\sum_{n=1}^{100}n^2=\frac{100\times101\times201}{6}=338350\)
2. 常数项和：\(\sum_{n=1}^{100}2=2\times100=200\)
3. 平方倒数和：\(\sum_{n=1}^{100}\frac1{n^2}\approx1.63498\)（无穷和 \(\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}{6}\approx1.64493\)，前 100 项略小）

第四步：合并结果

\(\sum_{n=1}^{100}a_n^2=338350+200+1.63498=338551.63498\)

取地板值

最大整数小于等于该和为 \(\boldsymbol{338551}\)。

答案：\(\boldsymbol{338551}\)