不等式 三角形三边长

换元法（更通用的技巧）

1. 设新变量 令： $x=a+b-c$x=a+b−c $y=a-b+c$y=a−b+c $z=-a+b+c$z=−a+b+c 由三角形性质可知 $x,y,z>0$x,y,z>0。

2. 反解 a,b,ca,b,c

• $x+y=2a⟹a=\frac{x+y}{2}$x+y=2a⟹a=2x+y​
• $x+z=2b⟹b=\frac{x+z}{2}$x+z=2b⟹b=2x+z​
• $y+z=2c⟹c=\frac{y+z}{2}$y+z=2c⟹c=2y+z​

3. 代入原不等式 原不等式左边 $abc$abc 变为： $\frac{x+y}{2}\cdot \frac{x+z}{2}\cdot \frac{y+z}{2}=\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{8}$2x+y​⋅2x+z​⋅2y+z​=8(x+y)(y+z)(z+x)​

原不等式右边就是 $xyz$xyz。

所以我们要证的不等式转化为： $\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{8}\ge xyz$8(x+y)(y+z)(z+x)​≥xyz 即证： $(x+y)(y+z)(z+x)\ge 8xyz$(x+y)(y+z)(z+x)≥8xyz

4. 证明新不等式 对于正数 $x,y,z$x,y,z，由基本不等式 $A+B\ge 2\sqrt{AB}$A+B≥2AB​：

• $x+y\ge 2\sqrt{xy}$x+y≥2xy​
• $y+z\ge 2\sqrt{yz}$y+z≥2yz​
• $z+x\ge 2\sqrt{zx}$z+x≥2zx​

三式相乘： $(x+y)(y+z)(z+x)\ge (2\sqrt{xy})\cdot (2\sqrt{yz})\cdot (2\sqrt{zx})$(x+y)(y+z)(z+x)≥(2xy​)⋅(2yz​)⋅(2zx​) $(x+y)(y+z)(z+x)\ge 8\sqrt{x^2{y}^2{z}^2}$(x+y)(y+z)(z+x)≥8x2y2z2​ $(x+y)(y+z)(z+x)\ge 8xyz$(x+y)(y+z)(z+x)≥8xyz

证毕。