裂项降次求和

$1^2+2^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ 求证

要记住一句话，要对x^n求和，就要想着用x^n+1次的减法去构造

对于 $n^2$n2 这种多项式，直接裂项（即写成 $f(n+1)-f(n)$f(n+1)−f(n)）比较困难。图片中的方法是利用立方差公式构造出一个可以相消的式子。

以下是完整的推导过程：

1. 核心恒等式

利用立方展开公式： $(k+1{)}^3=k^3+3k^2+3k+1$(k+1)3=k3+3k2+3k+1 移项得到： $(k+1{)}^3-k^3=3k^2+3k+1$(k+1)3−k3=3k2+3k+1

2. 列出各项并累加

我们要对 $k$k 从 $1$1 到 $n$n 进行累加：

• 当 $k=1$k=1 时：$2^3-1^3=3\cdot 1^2+3\cdot 1+1$23−13=3⋅12+3⋅1+1
• 当 $k=2$k=2 时：$3^3-2^3=3\cdot 2^2+3\cdot 2+1$33−23=3⋅22+3⋅2+1
• …
• 当 $k=n$k=n 时：$(n+1{)}^3-n^3=3\cdot n^2+3\cdot n+1$(n+1)3−n3=3⋅n2+3⋅n+1

3. 左右两边分别求和（裂项相消）

左边相加： 这是一个典型的“望远镜求和”（Telescoping Sum），中间项互相抵消： $\text{左边}=(2^3-1^3)+(3^3-2^3)+\cdots +((n+1{)}^3-n^3)$左边=(23−13)+(33−23)+⋯+((n+1)3−n3) $\text{左边}=(n+1{)}^3-1^3$左边=(n+1)3−13

右边相加： $\text{右边}=3(1^2+2^2+\cdots +n^2)+3(1+2+\cdots +n)+\underset{n\text{个}}{\underbrace{(1+1+\cdots +1)}}$右边=3(12+22+⋯+n2)+3(1+2+⋯+n)+n个(1+1+⋯+1)​​

设我们要通过求的平方和为 $S_n=1^2+2^2+\cdots +n^2$Sn​=12+22+⋯+n2。 已知等差数列求和公式 $\sum k=\frac{n(n+1)}{2}$∑k=2n(n+1)​。

所以右边可以写成： $\text{右边}=3S_n+3\cdot \frac{n(n+1)}{2}+n$右边=3Sn​+3⋅2n(n+1)​+n

4. 建立方程并求解 $S_n$Sn​

让左边等于右边： $(n+1{)}^3-1=3S_n+\frac{3n(n+1)}{2}+n$(n+1)3−1=3Sn​+23n(n+1)​+n

展开左边的立方项 $(n+1{)}^3=n^3+3n^2+3n+1$(n+1)3=n3+3n2+3n+1： $n^3+3n^2+3n+1-1=3S_n+\frac{3n^2+3n}{2}+n$n3+3n2+3n+1−1=3Sn​+23n2+3n​+n $n^3+3n^2+3n=3S_n+\frac{3}{2}{n}^2+\frac{3}{2}n+n$n3+3n2+3n=3Sn​+23​n2+23​n+n

移项，把含 $S_n$Sn​ 的项留在右边，其他的移到左边： $3S_n=n^3+3n^2+3n-\frac{3}{2}{n}^2-\frac{5}{2}n$3Sn​=n3+3n2+3n−23​n2−25​n $3S_n=n^3+\frac{3}{2}{n}^2+\frac{1}{2}n$3Sn​=n3+23​n2+21​n

提取公因式 $\frac{1}{2}n$21​n： $3S_n=\frac{n}{2}(2n^2+3n+1)$3Sn​=2n​(2n2+3n+1)

因式分解括号内的二次多项式 $(2n^2+3n+1)=(2n+1)(n+1)$(2n2+3n+1)=(2n+1)(n+1)： $3S_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{2}$3Sn​=2n(n+1)(2n+1)​

最后除以 3： $S_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$Sn​=6n(n+1)(2n+1)​

结论

通过这种“裂项”（累加消去）的方法，我们成功求出了平方和公式： $1^2+2^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$12+22+⋯+n2=6n(n+1)(2n+1)​

换序求和

利用换序求和（交换二重求和的次序）是推导平方和公式的一种非常巧妙且经典的方法。

它的核心思想是将 $k^2$k2 看作 $k$k 个 $k$k 相加，或者利用恒等式构造二重求和，然后交换 $\sum$∑ 的顺序来简化计算。

以下是具体的推导步骤：

1. 将通项变形为二重求和

我们要计算 $S_n={\sum }_{k=1}^n{k}^2$Sn​=∑k=1n​k2。 首先，利用恒等式 $k={\sum }_{j=1}^{k}1$k=∑j=1k​1（即 $k$k 等于 $k$k 个 1 相加），我们可以将 $k^2$k2 写成： $k^2=k\cdot k=k\cdot \left({\sum }_{j=1}^{k}1\right)={\sum }_{j=1}^{k}k$k2=k⋅k=k⋅(∑j=1k​1)=∑j=1k​k

将这个代入原式，得到二重求和： $S_n={\sum }_{k=1}^n\left({\sum }_{j=1}^{k}k\right)$Sn​=∑k=1n​(∑j=1k​k)

2. 分析求和区域并交换次序

现在的求和区域由不等式 $1\le k\le n$1≤k≤n 和 $1\le j\le k$1≤j≤k 确定。 合并起来就是：1≤j≤k≤n1≤j≤k≤n。

• 原来的次序：先固定 $k$k（从 1 到 $n$n），然后 $j$j 从 1 到 $k$k。
• 交换后的次序：先固定 $j$j（从 1 到 $n$n），然后 $k$k 从 $j$j 到 $n$n。

交换次序后，式子变为： $S_n={\sum }_{j=1}^n\left({\sum }_{k=j}^{n}k\right)$Sn​=∑j=1n​(∑k=jn​k)

3. 计算内层求和

先看括号里面的部分 ${\sum }_{k=j}^{n}k$∑k=jn​k。这是一个等差数列求和：

• 首项是 $j$j
• 末项是 $n$n
• 项数是 $n-j+1$n−j+1

根据等差数列求和公式 $\frac{(\text{首项}+\text{末项})\times \text{项数}}{2}$2(首项+末项)×项数​： ${\sum }_{k=j}^{n}k=\frac{(j+n)(n-j+1)}{2}$∑k=jn​k=2(j+n)(n−j+1)​ 展开分子： $(j+n)(n-j+1)=jn-j^2+j+n^2-nj+n=n^2+n-j^2+j$(j+n)(n−j+1)=jn−j2+j+n2−nj+n=n2+n−j2+j 所以内层求和的结果是： $\frac{n^2+n-j^2+j}{2}=\frac{n(n+1)}{2}-\frac{j^2}{2}+\frac{j}{2}$2n2+n−j2+j​=2n(n+1)​−2j2​+2j​

4. 代回外层求和并求解

将上面的结果代回 $S_n$Sn​ 的表达式： $S_n={\sum }_{j=1}^n[\frac{n(n+1)}{2}-\frac{j^2}{2}+\frac{j}{2}]$Sn​=∑j=1n​[2n(n+1)​−2j2​+2j​]

利用求和的线性性质拆开： $S_n={\sum }_{j=1}^n\frac{n(n+1)}{2}-\frac{1}{2}{\sum }_{j=1}^n{j}^2+\frac{1}{2}{\sum }_{j=1}^{n}j$Sn​=∑j=1n​2n(n+1)​−21​∑j=1n​j2+21​∑j=1n​j

这里要注意三点：

1. 第一项 $\frac{n(n+1)}{2}$2n(n+1)​ 与 $j$j 无关，共有 $n$n 项，所以和为 $n\cdot \frac{n(n+1)}{2}$n⋅2n(n+1)​。
2. 第二项 ${\sum }_{j=1}^n{j}^2$∑j=1n​j2 正是我们要算的 SnSn​。
3. 第三项 ${\sum }_{j=1}^{n}j$∑j=1n​j 是等差数列求和，等于 $\frac{n(n+1)}{2}$2n(n+1)​。

代入整理： $S_n=\frac{n^2(n+1)}{2}-\frac{1}{2}{S}_n+\frac{1}{2}\cdot \frac{n(n+1)}{2}$Sn​=2n2(n+1)​−21​Sn​+21​⋅2n(n+1)​

5. 解方程

将含 $S_n$Sn​ 的项移到左边： $S_n+\frac{1}{2}{S}_n=\frac{n^2(n+1)}{2}+\frac{n(n+1)}{4}$Sn​+21​Sn​=2n2(n+1)​+4n(n+1)​ $\frac{3}{2}{S}_n=\frac{n(n+1)}{2}(n+\frac{1}{2})$23​Sn​=2n(n+1)​(n+21​) $\frac{3}{2}{S}_n=\frac{n(n+1)}{2}\cdot \frac{2n+1}{2}$23​Sn​=2n(n+1)​⋅22n+1​ $\frac{3}{2}{S}_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{4}$23​Sn​=4n(n+1)(2n+1)​

两边同时乘以 $\frac{2}{3}$32​： $S_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$Sn​=6n(n+1)(2n+1)​

结论

通过换序求和的方法，我们成功推导出了平方和公式： $1^2+2^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$12+22+⋯+n2=6n(n+1)(2n+1)​