数列通向公式练习题

设 $x_0,x_1$x0​,x1​ 是两个给定的正实数，数列 $\{x_n\}$ 满足递推公式 $x_{n+2}=\frac{4\max \{x_{n+1},4\}}{x_n}$，其中 $n=0,1,2\cdots$。请求出 $x_{2011}$的值。

Let $x_0$ and $x_1$ be two given positive real numbers. A sequence $\{x_n\}$ is defined by the recurrence relation $x_{n+2}=\frac{4\max \{x_{n+1},4\}}{x_n}$x for $n=0,1,2,\dots$ Find the value of $x_{2011}$.

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解答过程

1. 分析递推公式 给定的递推公式为： $x_{n+2}=\frac{4\max \{x_{n+1},4\}}{x_n}$xn+2​=xn​4max{xn+1​,4}​ 这意味着 $x_{n+2}\cdot x_n=4\max \{x_{n+1},4\}$xn+2​⋅xn​=4max{xn+1​,4}。 由于 $\max \{x_{n+1},4\}\ge 4$max{xn+1​,4}≥4，所以 $x_{n+2}\cdot x_n\ge 16$xn+2​⋅xn​≥16。

2. 寻找规律（周期性） 这类带有 $\max$max 函数的递推数列通常具有周期性。我们可以尝试计算前几项，看看是否能发现 $x_n$xn​ 与 $x_{n+5}$xn+5​ 的关系。由于 $\max$max 函数的存在，我们需要根据 $x_0,x_1$x0​,x1​ 与 4 的大小关系进行分类讨论。

情况一：x0≤4,x1≤4x0​≤4,x1​≤4

• $x_2=\frac{4\max \{x_1,4\}}{x_0}=\frac{4\times 4}{x_0}=\frac{16}{x_0}$x2​=x0​4max{x1​,4}​=x0​4×4​=x0​16​。
  • 因为 $x_0\le 4$x0​≤4，所以 $x_2\ge 4$x2​≥4。
• $x_3=\frac{4\max \{x_2,4\}}{x_1}=\frac{4x_2}{x_1}=\frac{4(16\mathrm{/}{x}_0)}{x_1}=\frac{64}{x_0{x}_1}$x3​=x1​4max{x2​,4}​=x1​4x2​​=x1​4(16/x0​)​=x0​x1​64​。
  • 因为 $x_0,x_1\le 4⟹x_0{x}_1\le 16⟹x_3\ge 4$x0​,x1​≤4⟹x0​x1​≤16⟹x3​≥4。
• $x_4=\frac{4\max \{x_3,4\}}{x_2}=\frac{4x_3}{x_2}=\frac{4(64\mathrm{/}{x}_0{x}_1)}{16\mathrm{/}{x}_0}=\frac{16}{x_1}$x4​=x2​4max{x3​,4}​=x2​4x3​​=16/x0​4(64/x0​x1​)​=x1​16​。
  • 因为 $x_1\le 4$x1​≤4，所以 $x_4\ge 4$x4​≥4。
• $x_5=\frac{4\max \{x_4,4\}}{x_3}=\frac{4x_4}{x_3}=\frac{4(16\mathrm{/}{x}_1)}{64\mathrm{/}{x}_0{x}_1}=\frac{64\mathrm{/}{x}_1}{64\mathrm{/}{x}_0{x}_1}=x_0$x5​=x3​4max{x4​,4}​=x3​4x4​​=64/x0​x1​4(16/x1​)​=64/x0​x1​64/x1​​=x0​。
• 结论： 在此情况下，$x_5=x_0$x5​=x0​。

情况二：x0≤4,x1>4x0​≤4,x1​>4

• $x_2=\frac{4x_1}{x_0}$x2​=x0​4x1​​。因为 $x_1>4,x_0\le 4$x1​>4,x0​≤4，所以 $x_2>4$x2​>4。
• $x_3=\frac{4x_2}{x_1}=\frac{4(4x_1\mathrm{/}{x}_0)}{x_1}=\frac{16}{x_0}$x3​=x1​4x2​​=x1​4(4x1​/x0​)​=x0​16​。因为 $x_0\le 4$x0​≤4，所以 $x_3\ge 4$x3​≥4。
• $x_4=\frac{4x_3}{x_2}=\frac{4(16\mathrm{/}{x}_0)}{4x_1\mathrm{/}{x}_0}=\frac{16}{x_1}$x4​=x2​4x3​​=4x1​/x0​4(16/x0​)​=x1​16​。因为 $x_1>4$x1​>4，所以 $x_4<4$x4​<4。
• $x_5=\frac{4\max \{x_4,4\}}{x_3}=\frac{4\times 4}{x_3}=\frac{16}{16\mathrm{/}{x}_0}=x_0$x5​=x3​4max{x4​,4}​=x3​4×4​=16/x0​16​=x0​。
• 结论： 在此情况下，$x_5=x_0$x5​=x0​。

情况三：x0>4,x1≤4x0​>4,x1​≤4

• $x_2=\frac{16}{x_0}$x2​=x0​16​。因为 $x_0>4$x0​>4，所以 $x_2<4$x2​<4。
• $x_3=\frac{4\max \{x_2,4\}}{x_1}=\frac{16}{x_1}$x3​=x1​4max{x2​,4}​=x1​16​。因为 $x_1\le 4$x1​≤4，所以 $x_3\ge 4$x3​≥4。
• $x_4=\frac{4x_3}{x_2}=\frac{4(16\mathrm{/}{x}_1)}{16\mathrm{/}{x}_0}=\frac{4x_0}{x_1}$x4​=x2​4x3​​=16/x0​4(16/x1​)​=x1​4x0​​。因为 $x_0>4,x_1\le 4$x0​>4,x1​≤4，所以 $x_4>4$x4​>4。
• $x_5=\frac{4x_4}{x_3}=\frac{4(4x_0\mathrm{/}{x}_1)}{16\mathrm{/}{x}_1}=x_0$x5​=x3​4x4​​=16/x1​4(4x0​/x1​)​=x0​。
• 结论： 在此情况下，$x_5=x_0$x5​=x0​。

情况四：x0>4,x1>4x0​>4,x1​>4

• $x_2=\frac{4x_1}{x_0}$x2​=x0​4x1​​。
• $x_3=\frac{4\max \{x_2,4\}}{x_1}$x3​=x1​4max{x2​,4}​。
  • 若 $x_2\ge 4$x2​≥4，则 $x_3=\frac{4x_2}{x_1}=\frac{16}{x_0}<4$x3​=x1​4x2​​=x0​16​<4。
  • 若 $x_2<4$x2​<4，则 $x_3=\frac{16}{x_1}<4$x3​=x1​16​<4。
  • 总之，x3<4x3​<4。
• $x_4=\frac{4\max \{x_3,4\}}{x_2}=\frac{16}{x_2}=\frac{16}{4x_1\mathrm{/}{x}_0}=\frac{4x_0}{x_1}$x4​=x2​4max{x3​,4}​=x2​16​=4x1​/x0​16​=x1​4x0​​。
• $x_5=\frac{4\max \{x_4,4\}}{x_3}$x5​=x3​4max{x4​,4}​。
  • 我们需要计算 $x_3$x3​ 的具体值。
  • 若 $x_1\ge x_0$x1​≥x0​ (则 $x_2\ge 4$x2​≥4)，$x_3=16\mathrm{/}{x}_0$x3​=16/x0​。此时 $x_4=4x_0\mathrm{/}{x}_1\le 4$x4​=4x0​/x1​≤4。 $x_5=\frac{16}{x_3}=\frac{16}{16\mathrm{/}{x}_0}=x_0$x5​=x3​16​=16/x0​16​=x0​。
  • 若 $x_1<x_0$x1​<x0​ (则 $x_2<4$x2​<4)，$x_3=16\mathrm{/}{x}_1$x3​=16/x1​。此时 $x_4=4x_0\mathrm{/}{x}_1>4$x4​=4x0​/x1​>4。 $x_5=\frac{4x_4}{x_3}=\frac{4(4x_0\mathrm{/}{x}_1)}{16\mathrm{/}{x}_1}=x_0$x5​=x3​4x4​​=16/x1​4(4x0​/x1​)​=x0​。
• 结论： 在此情况下，$x_5=x_0$x5​=x0​。

3. 总结规律 综上所述，无论 $x_0,x_1$x0​,x1​ 取何值，都有 x5=x0x5​=x0​。 同理可证（或由递推关系的对称性），$x_6=x_1$x6​=x1​。 因此，数列 $\{x_n\}${xn​} 是一个周期为 5 的数列，即 $x_{n+5}=x_n$xn+5​=xn​。

4. 计算结果 我们需要求 $x_{2011}$x2011​。 $2011=5\times 402+1$2011=5×402+1 所以： $x_{2011}=x_{5\times 402+1}=x_1$x2011​=x5×402+1​=x1​

答案： $x_{2011}=x_1$x2011​=x1​

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解题方法总结

1. 观察与猜想（寻找周期性）： 对于形式复杂的递推数列（特别是包含 $\max ,\min$max,min 或分式结构），往往隐藏着周期性。可以先尝试计算前几项（$x_2,x_3,x_4,x_5$x2​,x3​,x4​,x5​），观察是否出现 $x_5=x_0$x5​=x0​ 的情况。
2. 分类讨论（处理分段函数）： 题目中含有 $\max \{x_{n+1},4\}$max{xn+1​,4}，这是一个分段函数。解题的关键在于根据 $x_n$xn​ 与临界值 4 的大小关系进行分类讨论。
   • 将 $x_0,x_1$x0​,x1​ 分为 $\le 4$≤4 和 $>4$>4 的四种组合。
   • 在每种组合下，去掉 $\max$max 符号，进行代数运算。
3. 代数推导验证： 在每一类情况下，严格推导 $x_2,x_3,x_4,x_5$x2​,x3​,x4​,x5​ 的表达式，最终验证 $x_5$x5​ 是否恒等于 $x_0$x0​。一旦证明了周期性 $T=5$T=5，就可以利用模运算（$2011(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5)$2011(mod5)）快速求出任意项的值。