裂项相消求和Telescoping sum

第一部分：基础练习 (直接套用公式)

计算下列各式的和：

$$\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\cdots +\frac{1}{99\times 100}$$1×21​+2×31​+3×41​+⋯+99×1001​

$$\frac{1}{1\times 3}+\frac{1}{3\times 5}+\frac{1}{5\times 7}+\cdots +\frac{1}{19\times 21}$$1×31​+3×51​+5×71​+⋯+19×211​

$$\frac{1}{1\times 4}+\frac{1}{4\times 7}+\frac{1}{7\times 10}+\cdots +\frac{1}{28\times 31}$$1×41​+4×71​+7×101​+⋯+28×311​

$$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$$1​+2​1​+2​+3​1​+⋯+99​+100​1​

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第二部分：进阶练习 (需要变形或观察)

计算下列各式的和：

$$\frac{1}{1\times 2\times 3}+\frac{1}{2\times 3\times 4}+\cdots +\frac{1}{98\times 99\times 100}$$1×2×31​+2×3×41​+⋯+98×99×1001​

6. 已知数列通项 $a_n=\frac{1}{n(n+2)}$an​=n(n+2)1​ ，求前 $n$n 项和 $S_n$Sn​ 。

$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$$k=1∑n​(2k−1)(2k+1)1​

$$\frac{3}{1\times 4}+\frac{3}{4\times 7}+\cdots +\frac{3}{(3n-2)(3n+1)}$$1×43​+4×73​+⋯+(3n−2)(3n+1)3​

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第三部分：挑战练习 (综合应用)

9. 若 $f(n)=\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$f(n)=n(n+1)(n+2)1​ ，求 $f(1)+f(2)+\cdots +f(n)$f(1)+f(2)+⋯+f(n) 。
10. 计算：

$$\frac{1}{2+\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+\cdots +\frac{1}{100\sqrt{99}+99\sqrt{100}}$$2+2​1​+32​+23​1​+43​+34​1​+⋯+10099​+99100​1​

文本

编辑

*(提示：观察分母结构  $ \sqrt{n+1}\cdot n + \sqrt{n}\cdot(n+1) $  或尝试提取公因式)*

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参考答案与简析

第一部分答案：

1. 答案: $\frac{99}{100}$10099​
   • 解析: 原式 $=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\cdots +(\frac{1}{99}-\frac{1}{100})=1-\frac{1}{100}$=(1−21​)+(21​−31​)+⋯+(991​−1001​)=1−1001​ 。
2. 答案: $\frac{10}{21}$2110​
   • 解析: 提 $\frac{1}{2}$21​ ，原式 $=\frac{1}{2}[(1-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+\cdots +(\frac{1}{19}-\frac{1}{21})]=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{21})$=21​[(1−31​)+(31​−51​)+⋯+(191​−211​)]=21​(1−211​) 。
3. 答案: $\frac{10}{31}$3110​
   • 解析: 公差为3，提 $\frac{1}{3}$31​ 。项数共10项。原式 $=\frac{1}{3}(1-\frac{1}{31})$=31​(1−311​) 。
4. 答案: $9$9
   • 解析: 分母有理化，每项变为 $(\sqrt{2}-\sqrt{1})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+\cdots +(\sqrt{100}-\sqrt{99})=\sqrt{100}-1=9$(2​−1​)+(3​−2​)+⋯+(100​−99​)=100​−1=9 。

第二部分答案：

5. 答案: $\frac{4949}{19800}$198004949​ (或者写成 $\frac{1}{2}[\frac{1}{1\times 2}-\frac{1}{99\times 100}]$21​[1×21​−99×1001​] )
   • 解析: 利用三项裂项公式，提 $\frac{1}{2}$21​ 。
   • $S=\frac{1}{2}[(\frac{1}{1\times 2}-\frac{1}{2\times 3})+(\frac{1}{2\times 3}-\frac{1}{3\times 4})+\dots ]=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-\frac{1}{9900})=\frac{1}{2}\times \frac{4950-1}{9900}=\frac{4949}{19800}$S=21​[(1×21​−2×31​)+(2×31​−3×41​)+…]=21​(21​−99001​)=21​×99004950−1​=198004949​ 。
6. 答案: $S_n=\frac{1}{2}(\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})$Sn​=21​(23​−n+11​−n+21​)
   • 解析: $\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2})$n(n+2)1​=21​(n1​−n+21​) 。注意中间会跳过一项抵消，剩下前两项的正数和后两项的负数。
   • $S_n=\frac{1}{2}[(1+\frac{1}{2})-(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2})]$Sn​=21​[(1+21​)−(n+11​+n+21​)] 。
7. 答案: $\frac{n}{2n+1}$2n+1n​
   • 解析: 同第2题，提 $\frac{1}{2}$21​ ，结果为 $\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n+1})=\frac{n}{2n+1}$21​(1−2n+11​)=2n+1n​ 。
8. 答案: $\frac{3n}{3n+1}$3n+13n​
   • 解析: 分子是3，分母差也是3，直接约掉。原式 $=\sum (\frac{1}{3k-2}-\frac{1}{3k+1})=1-\frac{1}{3n+1}$=∑(3k−21​−3k+11​)=1−3n+11​ 。
   • 更正: 题目分子是3，分母差是 $(3n+1)-(3n-2)=3$(3n+1)−(3n−2)=3 。
   • 通项 $=3\times \frac{1}{3}(\frac{1}{3k-2}-\frac{1}{3k+1})=\frac{1}{3k-2}-\frac{1}{3k+1}$=3×31​(3k−21​−3k+11​)=3k−21​−3k+11​ 。
   • 求和 $=(1-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{7})+\cdots =1-\frac{1}{3n+1}=\frac{3n}{3n+1}$=(1−41​)+(41​−71​)+⋯=1−3n+11​=3n+13n​ 。

第三部分答案：

9. 答案: $\frac{1}{2}[\frac{1}{2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}]$21​[21​−(n+1)(n+2)1​]
   • 解析: 参考第5题，首项是 $\frac{1}{1\times 2}$1×21​ ，末项负数部分是 $\frac{1}{(n+1)(n+2)}$(n+1)(n+2)1​ 。
   • $S_n=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)})$Sn​=21​(21​−(n+1)(n+2)1​) 。
10. 答案: $\frac{99}{100}$10099​ (或者 $1-\frac{1}{100}$1−1001​ )
    • 解析: 通项分析：第 $k$k 项分母为 $(k+1)\sqrt{k}+k\sqrt{k+1}=\sqrt{k}\sqrt{k+1}(\sqrt{k+1}+\sqrt{k})$(k+1)k​+kk+1​=k​k+1​(k+1​+k​) 。
    • 原式通项 $=\frac{1}{\sqrt{k}\sqrt{k+1}(\sqrt{k+1}+\sqrt{k})}=\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{\sqrt{k}\sqrt{k+1}}=\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}$=k​k+1​(k+1​+k​)1​=k​k+1​k+1​−k​​=k​1​−k+1​1​ 。
    • 求和 $=(1-\frac{1}{\sqrt{2}})+(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}})+\cdots +(\frac{1}{\sqrt{99}}-\frac{1}{10})=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}$=(1−2​1​)+(2​1​−3​1​)+⋯+(99​1​−101​)=1−101​=109​ 。
    • 等等，让我重新检查第10题的最后一项。
    • 最后一项分母是 $100\sqrt{99}+99\sqrt{100}$10099​+99100​ 。对应 $k=99$k=99 。
    • 通项公式推导： $\frac{1}{(k+1)\sqrt{k}+k\sqrt{k+1}}=\frac{1}{\sqrt{k}\sqrt{k+1}(\sqrt{k+1}+\sqrt{k})}=\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}$(k+1)k​+kk+1​1​=k​k+1​(k+1​+k​)1​=k​1​−k+1​1​ 。
    • 求和范围 $k=1$k=1 到 $99$99 。
    • $S=(1-\frac{1}{\sqrt{2}})+\cdots +(\frac{1}{\sqrt{99}}-\frac{1}{\sqrt{100}})=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}$S=(1−2​1​)+⋯+(99​1​−100​1​)=1−101​=109​ 。
    • (注：如果题目是到 $\frac{1}{100\times 99+\dots }$100×99+…1​ 这种形式，答案可能不同，按当前题目描述答案为 $0.9$0.9 )。

建议您在练习时，先写出通项公式的裂项形式，再代入求和，这样不容易出错。